東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの難しい問題(16)

2017-05-11 11:38:13 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

快晴で暑い日になりました。この天気は明日も続きますが、西から前線を伴った低気圧が近づいていて、明後日の土曜日は雨模様で少し涼しくなるようです。

さて、今回は2001年日本数学オリンピック本選に出題された問題を取り上げます。

問題は、
「m×nのマス目がある。次の条件をみたすように各マスを黒または白に塗る。

  条件: すべての黒マスについて、そのマスに隣接する黒マスの個数は奇数である。

このとき、黒マスの総数は、偶数であることを示せ。
ただし、2つのマスが隣接するとは、それらが異なり、かつ1辺を共有することである。」
です。

早速、下図のように、簡単な具体例を描いてみましょう。


▲図.簡単な具体例を描きました

1つのマスは4辺をもつので、1つの黒マスに隣接する黒マスの個数は、1個または3個になります。

上図では、隣接する黒マスが1個のものをSとし、それらの個数をs、隣接する黒マスが3個のものをTとし、それらの個数をtとします。このとき、s、tは非負整数です。(図では、s=8、t=4です)

すると、黒マスの総数Aは、
A=s+t           (1)
です。(図では、A=12です)

一方、隣接する2個の黒マスの境界(図では黄色で記しました)の本数をbとします。このとき、bは非負整数です。(図では、b=10です)

すると、1個のSとTについて、その境界はそれぞれ1本と3本になり、このとき1本の境界は2個の黒マスに共有されているので、
b=(s+3t)/2       (2)
です。(図では、10=(8+3・4)/2で(2)は成り立ちます)

ここで(2)を変形すると、
2b=s+3t
s+t=2b-2t=2(b-t)
で、(1)から
A=2(b-t)
になります。

このとき、b-t は整数なので、Aは偶数です。

以上から、黒マスの総数が偶数になることを示すことができました。


よくあるパターンの問題です。

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