東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの難しい問題(14)

2017-03-15 13:14:44 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予想最高気温が8℃と3月半ばとは思えないような天気になりました。空はどんよりとした雲で覆われていて、いまにも雨が降りそうですが、明日は晴れてぐっと暖かくなるようです。

さて、今回は2017年ジュニア数学オリンピック本選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「黒板に相異なる正の整数がいくつか書かれており、そのうちのどの異なる2つの数の和も素べきである。このとき、黒板に書かれている整数の個数としてありうる最大の値を求めよ。
 ただし、素べきとは素数pと非負整数nを用いてp^n の形で表される整数とする。」
です。

素べきの数で偶数になるのは2^n であることに着目しましょう。

黒板に3個以上の偶数が書かれていて、そのなかの3個をa1、a2、a3 (a1<a2<a3)とすると、これらの2数の和は偶数になるので、
a1+a2=2^k        (1)
a1+a3=2^l        (2)
a2+a3=2^m        (3)
k<l<m           (4)
になります。

すると、(1)、(2)から
a2<2^k
a3<2^l
です。

これらの辺々を足し合わせて、
a2+a3<2^k+2^l
で、これと(3)から
2^m<2^k+2^l      (5)
が成り立ちます。

このとき、(5)の左辺は、(4)から
2^m≧2^(l+1)
で、一方、(5)の右辺は、(4)から
2^k+2^l<2・2^l=2^(l+1)
なので、
2^(l+1)≦2^m<2^(l+1)
となり、これを満たすmはありません。

したがって、黒板に3個以上の偶数は書かれていないことが判ります。

また、黒板に3個以上の奇数が書かれていて、そのなかの3個をb1、b2、b3 (b1<b2<b3)とすると、これらの2数の和は偶数ですから、
b1+b2=2^q        (6)
b1+b3=2^r        (7)
b2+b3=2^s        (8)
q<r<s           (9)
になります。

すると、(6)、(7)から
b2<2^q
b3<2^r
です。

これらの辺々を足し合わせて、
b2+b3<2^q+2^r
で、これと(8)から
2^s<2^q+2^r      (10)
が成り立ちます。

このとき、(10)の左辺は、(9)から
2^s≧2^(r+1)
で、一方、(10)の右辺は、(9)から
2^q+2^r<2・2^r=2^(r+1)
なので、
2^(r+1)≦2^s<2^(r+1)
となり、これを満たすsはありません。

したがって、黒板に3個以上の奇数は書かれていないことが判ります。

以上から、黒板に書かれている正の整数は、高々、偶数2個、奇数2個です。

そこで、これらの4個の正の整数を、1、2、3、6とすると、
1+2=3=3^1
1+3=4=2^2
1+6=7=7^1
2+3=5=5^1
2+6=8=2^3
3+6=9=3^2
となり、2個の数の和がすべて素べきになっています。

したがって、黒板に書かれている整数の個数としてありうる最大の値はで、これが答えです。


楽しい問題です。

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