東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(129)

2017-04-29 13:27:45 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

陽射しが強くなったり弱くなったり慌しい空模様ですが、気温は高く、少し暑いくらいです。夕方のビールが楽しみな土曜日になりました。

さて、今回は2006年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「正三角形の内部に点Pがあり、Pから各辺に下ろした垂線の長さはそれぞれ1、2、3であるとする。この正三角形の一辺の長さを求めよ。」
です。

図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

ここで図2のように、正三角形ABCの1辺の長さをxとすると、

なので、

です。


▲図2.正三角形ABCの1辺の長さをxとして面積を計算します

一方、正三角形の各頂点と点Pを結んで作った3つの三角形PAB、PBC、PCAの面積は、それぞれ、

で、それらの和は、

になり、これは正三角形の面積に等しいので、

が成り立ちます。

これを解くと、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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