東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(130)

2017-04-23 12:11:16 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲一つない青空で、快適な日曜日になりました。明日以降の天気は、週の半ばで少し崩れるようですが、気温は20℃前後と過ごしやすい日が続くようです。

さて、今回は2006年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ABCの内接円は辺AB、BC、CAとそれぞれ点D、E、Fで接している。∠BAC=70°のとき、∠DEFを求めなさい。」


▲問題図

です。

接弦定理を利用すれば簡単です。

図1のように、点Dと点Fを直線で結ぶと、△ADFは二等辺三角形で、その底角は等しいので、∠ADF=55°です。


▲図1.接弦定理を利用します

一方、接弦定理から∠ADF=∠DEFなので、∠DEF=55°になり、これが答えです。

円周角と中心角の関係を利用することもできます。

図2のように、△ABCの内接円の中心をOとし、点D、FとOをそれぞれ直線で結びます。


▲図2.円周角と中心角の関係を利用します

このとき、点D、Fは接点なので、∠ADO=∠AFO=90°で、四角形ADOFは円に内接します。

したがって、∠DOF=180°-∠DAF=180°-70°=110°です。(四角形の内角の和が360°を利用してもOKです)

ここで、∠DEFと∠DOFはそれぞれ弧DFの円周角と中心角なので、∠DEF=1/2∠DOFです。

以上から、∠DEF=1/2・110°=55°になります。


簡単な問題です。

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