東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(110)

2017-03-06 14:10:33 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り、曇り空の肌寒い日になりました。西にある高気圧の影響で明後日まで寒い日が続きますが、その後少し暖かくなり、週末は過ごしやすい天気になるようです。

さて、今回は2017年日本数学オリンピック予選の図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ABCの辺BC上に2点D、Eがある。4点B、D、E、Cはこの順に並んでおり、∠BAD=∠ACE、∠ABD=∠CAEであるとする。三角形ABEの外接円と三角形ADCの外接円のAと異なる交点をXとおき、AXとBCの交点をFとする。BF=5、CF=6、XD=3のとき、線分XEの長さを求めよ。ただし、PQで線分PQの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

円と2組の等しい角があるので、円周角の定理を使って等しい角の仲間を増やしましょう。このとき図2のように、BとX、CとXを結ぶと等しい角の仲間が増えます。


▲図2.B、等しい角にマークしました

∠ACDと∠AXDは、弧ADに対する円周角なので、
∠ACD=∠AXD=
です。

∠ABEと∠AXEは、弧AEに対する円周角なので、
∠ABE=∠AXE=
です。

一方、∠ADCは△ABDの外角なので、
∠ADC=∠BAD()+∠ABD(
で、さらに、∠ADCと∠AXCは弧ACに対する円周角なので、
∠ADC=∠AXC=
です。

すると、∠AXE=なので、
∠CXE=∠AXC()-∠AXE()=
です。

また、∠AEBは△ACEの外角なので、
∠AEB=∠CAE(■」)+∠ACE(
で、さらに、∠AEBと∠AXBは弧ABに対する円周角なので、
∠AEB=∠AXB=
です。

以上から、
∠BXF(∠AXB)=∠CXF(∠AXC)=
になり、直線XFは∠BXCの2等分線であることが判ります。

そこで図3のように、△XBCに角の2等分線定理を適用すると、
XB:XC=BF:CF=5:6
になり、
XB=5x
XC=6x
と置くことができます。


▲図3.XB=5x、XC=6xと置くことができます

次に図4のように、
∠DAX=∠DCX= (弧DXに対する円周角)
∠EAX=∠EBX= (弧EXに対する円周角)
として、△ABXと△CAXに着目すると、
∠BAX=∠ACX=
∠ABX=∠CAX=
から、
△ABX∽△CAX
です。


▲図4.△ABX∽△CAXです

すると、
AX:BX=CX:AX
が成り立ち、ここに、BX=5x、CX=6xを代入して、
AX:5x=6x:AX
から
AX^2=30x^2
AX=√30・x
です。

続いて図5のように、△ADXと△CEXに着目すると、
∠AXD=∠CXE= 
∠DAX=∠ECX=
から、
△ADX∽△CEX
です。


▲図5.△ADX∽△CEXです

すると、
AX:DX=CX:EX
が成り立ち、ここに、AX=√30・x、DX=3、CX=6xを代入して、
√30・x:3=6x:EX
から
√30・x・EX=18x
EX=18/√30
  =3√30/5
で、これが答えです。


筋書きの判りやすい問題です。

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