東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

同じものを含む順列(数A)

2017-08-09 11:58:44 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日、高1の塾生がやっていた同じものを含む順列の問題です。

問題は、
「3個のAと4個のBの合計7個を並べるとき、Aが2個以上並ぶ並べ方は何通りか」
です。

AとBの7個を並べる並べ方は、
7!/3!4!=35(通り)
で、これからAが2個以上並ばない並べ方を差し引けば、Aが2個以上並ぶ並べ方を求めることができます。

そこで図1のように、4個のBを並べてそれらの両端と間( で示しました)にAを入れることを考えます。


▲図1.4個のBを並べてそれらの両端と間にAを入れます

4個並んだBの両端と間の個数は5ヶ所で、そのなかの3ヶ所にAを1つずつ入れれば、Aは2個以上並ぶことはなく、
5C3=10(通り)
がAが2個以上並ばない並べ方になります。

したがって、Aが2個以上並ぶ並べ方は、
351025(通り)
で、これが答えです。

次に、先に3個のAを並べた場合のAが2個以上並ばない並べ方を調べてみましょう。

3個のAの間には少なくとも1個のBがなければならないので、図2のように、ABABAを考えます。


▲図2.ABABAを考えます

まず、1個のBBを図2の の位置に入れることを考えると、その並べ方は、
4C1=4(通り)
です。

また、2個のBを図2の の位置に1つずつ入れることを考えると、その並べ方は、
4C2=6(通り)
です。

したがって、Aが2個以上並ばない並べ方は、
10(通り)
で、先に4個のBを並べた場合と同じになりました。

続いて、Aが3個並ぶ場合と2個並ぶ場合を勘定してみましょう。

図3の1列目のように、Aが3個並ぶ並べ方は、1個のAAAと4個のBの並べ方なので、
5!/4!1!=5(通り)
です。


▲図3.Aが3個並ぶ場合と2個並ぶ場合を勘定します

Aが2個並ぶ並べ方は、図2の2から4列目のように、
(2列目)1個のBAABと1個のAと2個のBを並べる
(3列目)1個のBAAを右端に置き、1個のAと3個のBを並べる
(4列目)1個のAABを左端に置き、1個のAと3個のBを並べる
の3つの並べ方の和になります。

これらの並べ方はそれぞれ、
4!/2!1!1!=12(通り)
4!/3!1!=4(通り)
4!/3!1!=4(通り)
なので、合わせて20(通り)です。

したがって、Aが2個以上並ぶ並べ方は、
2025(通り)
です。

最後に図4のように、1個のAAと1個のAと4個のBを並べることを考えて見ましょう。


▲図4.1弧のAAと1個のAと4個のBを並べます

これらの並べ方は、
6!/4!1!1!=30(通り)
ですが、ここにはAAの右端にAがある場合と左端にAがある場合が重複して勘定されています。

そして、この重複して勘定した並べ方は、3個のAが並んだ並べ方、つまり、1個のAAAと4個のBの並べ方で、それは、
5!/4!1!=5(通り)
です。

したがって、Aが2個以上並ぶ並べ方は、
3025(通り)
です。


場合の数の問題はいろいろな勘定の仕方があって面白いです。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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