東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(70)

2016-09-18 13:55:22 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

気温は25℃なのですが、湿度は92%と肌がべたつく感じです。秋雨前線が関東にかかっていて、雨模様の天気が続くようです。また、台風も近づいているので注意しましょう。

さて、今回は2016年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「頂点Bにおける内角が180°よりも大きい四角形ABCDがあり、AB:CD=√2:1、AD=2、BC=1が成り立っている。直線BCと辺ADの交点をE、直線ABと辺CDの交点をFとおくと、∠CED=∠AFD=45°が成立した。このとき、四角形ABCDの面積を求めよ。
 ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

▲問題図

問題図にいくつかの相似三角形が見つけられるので、それを使って簡単に解けそうですが、やってみると一筋縄ではいかないようです。(上手い手があるのかも知れませんが)

そこで、与えられた角度45°と与えられた線分比√2:1から連想される三角定規の直角二等辺三角形を作ることにしましょう。

図1のように、線分CDをCがBと一致するように平行移動しその線分をBGとすると、△ABGは底角が45°の直角二等辺三角形になります。


▲図1.線分CDをCがBと一致するように平行移動しました
さらに、四角形BCDGは平行四辺形になるので、BE//DGで、その錯角は等しいことから、
∠BED=∠EDG=45°
です。

すると、∠ABG=∠ADG=45°から、図2のように、四角形ABDGは円に内接します。


▲図2.四角形ABDGは円に内接します

すると、円周角の定理から
∠ADB=∠AGB=90°
で、△ABDは直角三角形になります。

ここで、CD=BG=AG=aとおくとAB=√2・aになり、これらと三平方の定理から
AB^2=AD^2+BD^2
2a^2=2^2+BD^2
BD=√(2a^2-4)
です。

さらに、円に内接する四角形ABDGについて、トレミーの定理から
AD・BG=AB・DG+AG・BD
2・a=√2・a・1+a・√(2a^2-4)
が成り立ち、
a^2=5-2√2
になり、
BD=√(2(5-2√2)-4)
  =√(6-4√2)
  =√(6-2√8)
  =2-√2
です。

いよいよ本丸の面積計算に取り掛かりましょう。

図3のように、直線ADにCから垂線を下ろし、その足をHとしましょう。


▲図3.直線ADにCから垂線を下ろし、その足をHとしました

すると、△CEHは底角が45°の直角三角形で、BC=1から
DH=√2/2
です。

一方、BD//CHなので、(△BCDの面積)=(△BHDの面積)で、
(四角形ABCDの面積)=(△ABHの面積)
になります。

以上から
(四角形ABCDの面積)=(△ABHの面積)
            =1/2・AH・BD
            =1/2・(AD+DH)・BD
            =1/2・(2+√2/2)・(2-√2)
            =(3-√2)/2
で、これが答えです。


相似を使った解き方ももう少し調べてみるつもりです。興味のある方は調べてみてください。

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