東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(107)

2017-02-13 13:32:11 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と然程気温は変わらないのですが、昨日の冷たい風が治まったので、若干、過ごしやすい日になりました。明日は少し寒くなるようですが、明後日以降、気温が少しずつ上がり、金曜日は大分暖かくなるようです。楽しみなことです。

さて、今回は2017年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「相異なる3点D、B、Cは同一直線上にあり、DB=BC=2である。点AはAB=ACをみたし、直線ACと直線DCにそれぞれA、Dで接する円Γが存在するとする。Γと直線ABの交点のうちAでない方をEとし、直線CEとΓの交点のうちEでない方をFとするとき、線分EFの長さを求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

直線CAとCDは円ΓにそれぞれAとDで接するので、図2のように、CA=CD=4cm になります。


▲図2.CA=CD=4cmです

図2や長さを求める線分EFから方べきの定理がぴったりなのですが、いきなり線分CAとCFにそれを適用しても上手くいきません。

そこでまず図3のように、線分BDとBAに方べきの定理を適用しましょう。

すると、
BA・BE=BD^2
で、これに、BA=4cm、BD=2cm を代入して、
4BE=4
BE=1 cm
になります。


▲図3.線分BDとBAに方べきの定理を使います


次に、図4のように、△ABCと△CEBに着目すると、
AC:CB=4:2=2:1
CB:BE=2:1
から
AC:CB=CB:BE
です。


▲図4.△ABCと△CEBに着目します

さらに、△ABCは二等辺三角形なので、
∠ACB=∠ABC=∠CBE
です。

したがって、2組の辺の比とその間の角が等しいので、
△ABC∽△CBE
で、
CE=2cm
になります。

これで準備完了で、図5のように、線分CAとCFに方べきの定理を適用すると、
CF・CE=CA^2
で、これに、CE=2cm、CA=4cmを代入して、
2CF=16
CF=8cm
です。


▲図5.線分CAとCFに方べきの定理を使います

最後に、
EF=CF-CE
から、
EF=8-2=6cm
で、線分EFの長さは6 cmです。


簡単な問題です。

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