東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの難しい問題(8)

2016-12-07 12:47:49 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

強い陽射しのいい天気になりました。気温は昨日に比べてぐっと下がり寒くなりましたが、明日、明後日と暖かくなるようです。暖かくして過ごしましょう。

さて、今回は2005年日本数学オリンピック本選に出題された絶対不等式の問題を取り上げます。

問題は、
「正の実数a、b、cがa+b+c=1をみたしているとき、

を示せ。」
です。

与えられた式に3乗根があるので、ここは相加相乗平均が使えそうです。

3変数の相加相乗平均は、x1、x2、x3≧0のとき、
   (1)
が成り立つというものです。

そこで(1)で、x1=1、x2=1、x3=1+b-c (a+b+c=1から1+b-c=b+b+a=a+2b>0です)とすると、
   (2)
が成り立ちます。

さらに、x1=1、x2=1、x3=1+c-a(=b+2c>0) と x1=1、x2=1、x3=1+a-b(=c+2a>0)とすると、それぞれについて、
   (3)
および
   (4)
が成り立ちます。

そして、(2)(3)(4)の辺々を足し合わせると、

になり、問題に与えられた式が成り立つことを示すことができました。(等号は、1=1+b-c=1+c-a=1+a-b、a+b+c=1から、a=b=c=1/3のとき成り立ちます)


判りやすい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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