東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(93)

2016-12-20 13:37:36 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中は曇っていましたが、昼過ぎから陽が射し始め、一昨日、昨日に続き、今日も暖かくなりました。明後日から明々後日にかけて下り坂になりますが、気温は上がって暖かくなるようです。

さて、今回は2016年日本数学オリンピック予選に出題された最大最小値の問題を取り上げます。

問題は、
「実数a、b、c、dが

をみたすとき、

のとりうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

a+b+c+dの2乗を計算すると、問題に与えられた条件式が現れてきそうです。

そこで実際に計算してみると、

となり、思惑通りです。

これに条件式を代入すると、

になり、これから、
  (1)
とすっきりした式になりました。

あとは、a+b+c+dの2乗の値を求めればお仕舞いです。

そのために、a+b+c+dを(a+b)+(c+d)、(a+c)+(b+d)、(a+d)+(b+c)と見て、

とすると、上手く条件式が現れました。

これらから、

になり、a+b+c+dの2乗の最小値は16になることが判ります。

そして、これを(1)に代入して、
  (2)
で、最小値は7になりそうです。

そこで、これを満たすa、b、c、dが存在するかを調べましょう。

(2)の等号が成り立つ条件の1つは、
   (3)
で、これを3つの条件式に代入すると、それぞれ、

から
   (4)


から
   (5)


から
     (6)
です。

そして、(3)(4)(5)(6)から

になり、このとき(2)の等号が成り立ちます。

以上から、

のとりうる最小の値はで、これが答えです。


条件式が上手く使えて楽しい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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