東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

平成29年度都立高校入試問題(11)【共通】

2017-04-09 14:56:06 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

風が強く、桜の花が散って道にたくさんの花びらが落ちています。特に、近所の地域センター正面にある桜は花吹雪のようで、地面は桃色のカーペットです。今年の桜ももう直ぐ終わりです。

さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、共通問題に出題された大問1の作図問題で、それは、
「下の図は、おうぎ形OABである。
弧AB上にあり、3(弧AP)=(弧BP)となる点Pを、定規とコンパスを用いて作図によって求め、点Pの位置を示す文字Pも書け。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。」    *(弧XY)は弧XYの長さを表します


▲問題図

です。

3(弧AP)=(弧BP)は、弧ABの長さを4等分する点の最も点Aに近いものが点Pになるということです。

そこで図1のように、∠AOBの2等分線を引きましょう。このとき、2等分線と弧ABの交点をCとします。


▲図1.∠AOBの2等分線を引きました

さらに図2のように、∠AOCの2等分線と弧ABの交点を求めれば、それが点Pになりお仕舞いです。


▲図2.∠AOCの2等分線と弧ABとの交点が点Pです

この作図が簡明で、正解した多くの受験生がこれを採ったと思いますが、次のように中心角と円周角の関係を利用する作図もあります。

まず図3のように、弧ABを含む円Oを描き、半径OAを延長し、それと円Oとの交点で点Aでない方を点Dとします。そして、点Bと点Dを直線で結ぶと、∠AOBと∠ADBは中心角と円周角の関係なので、1/2∠AOB=∠ADBです。


▲図3.1/2∠AOB=∠ADBです

次に、点Dが点Oにくるように△BDOを平行移動します。

図4のように、線分DB、OBを測りとり、それぞれ点Oと点Aを中心とする円を描きます。


▲図4.点Dが点Oにくるように△BDOを平行移動します

すると、それらの2つの円の交点と点O、Aでできる三角形が△BDOと合同になり、その交点と点Oを結んだ直線と弧ABとの交点をEとすると、∠AOE=∠ADB=1/2∠AOBです。

さらに、点Dと点Eを直線で結び、点Dが点Oにくるように△EDOを平行移動します。

図5のように、線分DE、OEを測りとり、それぞれ点Oと点Aを中心とする円を描きます。


▲図5.点Dが点Oにくるように△EDOを平行移動します

すると、それらの2つの円の交点と点O、Aでできる三角形が△EDOと合同になり、その交点と点Oを結んだ直線と弧ABとの交点がPになります。


いろいろな作図法を調べてみると面白いです。

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