東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

平成29年度都立高校入試問題(8)【共通】

2017-03-21 11:54:57 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

太平洋沿岸を前線を伴った低気圧が移動していて、久しぶりの雨になりました。冬の雨とは違ってそれほど冷たくなく、普段と違って静かで、春雨もなかなかよいものです。明日は一転して快晴になるようです。

さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、共通問題に出題された大問4の平面図形問題で、それは、
「図1で、四角形ABCDは、AB=6cm、BC=12cmの長方形である。
 辺BCを直径とする半円Oの弧BCは、2つの頂点B、Cを通る直線に対して頂点Aと同じ側にある。
 点Pは、辺AD上にある点で、頂点Aに一致しない。
 頂点Bと点Pを結んだ線分と、弧BCとの交点のうち、頂点Bと異なる点をQとする。


▲図1.問題図(1)
 
 次の各問に答えよ。

[問1] 図1において、∠PBC=a° とするとき、弧CQの長さを表す式を、次のア~エのうちから選び、記号で答えよ。
     ただし、円周率はπとする。

    ア 12πa cm   イ 6πa cm  ウ 1/10・πa cm  エ 1/15・πa cm

[問2] 図2は、図1において、頂点Cと点Qを結んだ場合を表している。
     次の①、②に答えよ。


▲図2.問題図(2)

  ① △ABP∽△QCB であることを証明せよ。

  ② 次の[ ]の中の[お][か][き]に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
    図2において、AP:PD=1:3のとき、
    線分PQの長さは、[お]√[か]/[き] cmである。」
です。

まず、[問1]です。

図3のように、点Oと点Qを直線で結びましょう。


▲図3.点Oと点Qを直線で結びました

このとき、∠QOCと∠QBCは中心角と円周角の関係なので、
∠QOC=2∠QBC
     =2a°
です。

一方、弧BCの長さは、
弧BC=12π/2=6π cm
ですから、弧CQの長さは、
弧CQ=弧BC×2a°/180°
    =6π×2a°/180°
    =1/15・πa cm
で、 が答えです。

次に、[問2]の①です。

図4のように、半円周に対する円周角が直角と、平行線の錯角に気がつけば簡単です。


▲図4.∠BQC=90°です

『 △ABPと△QCBにおいて、
四角形ABCDは長方形なので、
∠BAP=90°
と   
半円周に対する円周角は90°なので、
∠CQB=90° 
から、
∠BAP=∠CQB   (1)

AD//BCで、平行線の錯角は等しいので、
∠APB=∠QBC   (2)

(1)(2)から、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABP∽△QCB 』
です。

最後の②です。

図5のように、AP:PD=1:3から、
AP=3cm
PD=9cm
です。


▲図5.AP=3cm、PD=9cmです

あとは、①の相似関係と三平方の定理を使えば良さそうです。

△ABPに三平方の定理を適用すると、
BP^2=AB^2+AP^2

が成り立ち、ここに、AB=6、AP=3を代入して、
BP^2=36+9
    =45
です。

したがって、
BP=3√5
になります。

一方、△ABP∽△QCBから
AP:BP=QB:CB
が成り立ち、ここに、AP=3、BP=3√5、CB=12を代入して、
3:3√5=QB:12
で、
QB=12√5/5
になります。

したがって、線分PQの長さは、
PQ=BP-QB
   =3√5-12√5/5
   =3√5/5
で、これが答えです。


簡単な問題です。

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