ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（８３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲一つない青空の素晴らしい秋晴れで、気温も昨日より随分上がり快適な日になりました。明日も同じように過ごしやすい日になりますが、明後日から２日ほど、雨模様の天気になるようです。

さて、今回は２００５年ジュニア数学オリンピックに出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「十進法で１１０と表される数は、五進法では４２０と表され、やはり３桁になる。このように、十進法でも五進法でも桁数が変わらない正の整数は、全部でいくつあるか。」
です。

ある正の整数Ｎをｐ進法で表すと、
　　　（１）
（ここで、ａiは、０≦ａi≦ｐ－１は正の整数で、ａn≠０、ｎは非負の整数）
のようになり、これはｐ進法で表した場合、ｎ桁になります。

つまり、Ｎをｐ進法で表したとき、ｎ桁およびｎ+１桁になる最小の数は、それぞれ

と

になります。

したがって、Ｎを十進法で表したとき、ｎ桁になるのは、
　　　（２）
のときで、同様に、五進法で表したとき、ｎ桁になるのは、
　　　（３）
のときで、これらを満たすＮが十進法でも五進法でもｎ桁になる整数です。

ここで、（２）と（３）の左右の辺の大小関係を調べてみると、

が成り立つので、Ｎが、
　　　（４）
を満たせば、（２）と（３）を満たすことになります。

そこで、（４）の左右の辺から作った不等式を変形して、

とすると、これを満たすｎは、
ｎ＝１、２、３
になります。

あとは、ｎ＝１、２、３を（４）に代入し、Ｎの個数を勘定するだけです。

●ｎ＝１のとき
（４）は、
１≦Ｎ＜５
で、これを満たす整数Ｎは、４個です。

●ｎ＝２のとき
（４）は、
１０≦Ｎ＜２５
で、これを満たす整数Ｎの個数は、１５個です。

●ｎ＝３のとき
（４）は、
１００≦Ｎ＜１２５
で、これを満たす整数Ｎの個数は、２５個です。

以上まとめると、十進法でも五進法でも同じ桁数になる正の整数の個数は、４＋１５＋２５＝４４個で、これが答えです。


整数Ｎのｐ進法での表し方を知っていれば簡単な問題です。