東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(122)

2017-04-19 13:15:23 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予想最高気温が26℃と、昨日より幾分下がり、5から6月の陽気になりました。明日以降はしばらくの間、20℃前後で落ち着くようで、普通の春の日が戻ってくるようです。

さて、今回は2005年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「50以下の正整数nで次の条件をみたすものはいくつあるか。

をみたす0以上の整数a、bがただ1組存在する。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた式の左辺を因数分解すると、
(a+b)(a-b)=n         (1)
で、このとき、
a+b≧a-b             (2)
です。

ここで、a+bが奇数の場合、aとbは一方が偶数、他方が奇数ですから、a-bは奇数になります。

一方、a+bが偶数の場合、aとbがともに偶数、または、aとbがともに奇数ですから、a-bは偶数になります。

つまり、a+bとa-bの偶奇が一致することが判りました。

そこで、ここから、a+bとa-bが奇数と偶数の2つの場合に分けて調べます。

●a+bとa-bが奇数の場合 (⇒nは奇数になります)
・ nが合成数のとき、nは3個以上の約数を持つので、(1)と(2)を満たすa+bとa-bの組合せは2個以上になります。

つまり、aとbの組合せも2個以上になるので、「a、bがただ1組存在する」という条件を満たしません。

・ nが合成数でない場合、つまり、1または奇素数の場合、(1)と(2)を満たすa+bとa-bの組合せは1個で、aとbの組合せも1個になり、条件を満たします。

したがって、n=1、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47の15個が条件を満たします。

●a+bとa-bが偶数の場合
a+bとa-bが2の倍数なので、nは4の倍数になります。

そこで、
a+b=2(a’+b’)
a-b=2(a’-b’)
n=4n’  (1≦n’≦12)←n’は奇数でも偶数でもOKです
とし、これらを(1)に代入すると、
(a’+b’)(a’-b’)=n’     (3)
で、このとき、
a’+b’≧a’-b’          (4)
です。

・ n’が合成数の場合、n’は3個以上の約数を持つので、(3)と(4)を満たすa’+b’とa’-b’の組合せは2個以上になります。

つまり、a’とb’の組合せは2個以上、すなわち、aとbの組合せも2個以上になるので、これは条件を満たしません。

・ n’が合成数でない場合、つまり、1または素数の場合、(3)と(4)を満たすa’+b’とa’-b’の組合せは1個で、a’とb’の組合せは1個、すなわち、aとbの組合せも1個になり、これは条件を満たします。

したがって、n’=1、2、3、5、7、11、つまり、n=4、8、12、20、28、44の6個が条件を満たします。

以上から、条件を満たすnの個数は、15+6= 21個 で、これが答えです。


筋書きは簡単ですが、面白い問題です。

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