東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(116)

2017-04-10 12:18:14 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

気温は16℃と少し肌寒いですが、晴れて過ごしやすい日になりました。明日は、南岸低気圧の影響で、寒く荒れた天気で、春の嵐になるようです。

さて、今回は2007年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「方程式

をみたす整数の組(a,b)はいくつあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

a=b=0の場合、与式は成り立ちます。そこで、これからは、a≠0、b≠0の場合を考えます。

まず定石通り、aとbの最大公約数をg (g>0)として、
a=gA
b=gB
AとBは互いに素
とおきましょう。

これらを、与えられた式に代入して、

を得ます。

これから、AはB^3 の約数です。

また、AとBは互いに素なので、A=±1になり、a=±gからb=aBです。

これを、与式に代入して、
     (1)
が成り立ちます。

ここで、aとBの最大公約数をG(G>0)として、
a=Gα
B=Gβ
αとβは互いに素
とおき、これらを(1)に代入すると、
  (2)
が成り立ち、さらに、(右辺)>0から
α>β                     (3)
です。

ここで、αとβは互いに素なので、β^2 は4の約数になり、したがって、β=-2、-1、1、2です。

ここから、βで場合分けして調べましょう。

●β=-2の場合
(2)から

で、Gは整数なので、α+2=-4、-2、-1、1、2、4で、α=-6、-4、-3、-1、0、2 になります。

そして、αとβは互いに素で、(3)からα>βなので、αとβの組合せ(α,β)は、(-1,-2)[G=1]です。

●β=-1の場合
(2)から

で、Gは整数なので、α+1=-4、-2、-1、1、2、4で、α=-5、-3、-2、0、1,3 になります。

そして、αとβは互いに素で、(3)からα>βなので、(α,β)は、(1,-1)[G=2]、(3,-1)[G=9]です。

●β=1の場合
(2)から

で、Gは整数なので、α-1=-4、-2、-1、1、2、4で、α=-3、-1、2、3、5 になります。

そして、αとβは互いに素で、(3)からα>βなので、(α,β)は、(2,1)[G=16]、(3,1)[G=18]、(5,1)[G=25]です。

●β=2の場合
(2)から

で、Gは整数なので、α-2=-4、-2、-1、1、2、4で、α=-2、0、1、3、4、6 になります。

そして、αとβは互いに素で、(3)からα>βなので、(α,β)は、(3,2)[G=9]です。

以上をまとめると、(α,β)[G]は、
(-1、-2)[G=1]
(1,-1)[G=2]
(3,-1)[G=9]
(2,1)[G=16]
(3,1)[G=18]
(5,1)[G=25]
(3,2)[G=9]
です。

そして、これらに対応する(a,b)は、a=Gα、b=aGβから、それぞれ
(-1,2)
(2,-4)
(27,-243)
(32,512)
(54,972)
(125,3125)
(27,486)

の7個です。

さらに、これらに(0,0)を加えて、合計 8個 で、これが答えです。


少し複雑ですが、定石通りに、2つの整数を最大公約数と互いに素な2整数で表して進めれば簡単です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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