東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

面積問題(6)[桜蔭中]

2018-01-04 12:12:09 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2006年桜蔭中入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「次の[ ]をうめなさい。
 縦40cm、横30cm の紙に図のように幅1cm の青いテープを2cm おきにはりました。
 この紙1枚に1辺が10cm の立方体の展開図を書きそれを切り取って青いテープがはってある面を表にして組み立てました。
 出来上がった立方体の表面のうち、青いテープの部分の面積は最も少なくて[ ウ ]cm2、最も多くて[ エ ]cm2 です。」


▲問題図

図1に示すように、立方体の展開図は11通りあります。(展開図は立方体の辺を切り開いて作るものとしました


▲図1.立方体の展開図は11通りです

これらのなかの1から10の展開図は、縦方向に4個の正方形が並び、11の展開図は縦方向に5個の正方形が並びます。

したがって、縦40cm、横30cm の紙に収まる展開図は1から11で、紙の上端から下端まで余すことなく4個の正方形が並ぶことになり、さらに、それらの4個の正方形が真直ぐに一列に並んでいても、ずれて並んでいても、4個の正方形の青いテープの部分の面積は同じです。

次に図2のように、紙を縦方向に4等分した領域A、B、C、Dで、一辺10cm の正方形の青いテープの部分の面積を計算すると、それぞれ、40cm2、30cm2、30cm2、40cm2 になり、縦方向に並んだ4個の正方形の青いテープの部分の面積は、40+30+30+40=140cm2 です。


▲図2.縦方向に4等分した領域A、B、C、Dで、一辺10cm の正方形の青いテープの部分の面積を計算しました

つまり、立方体の表面のうち、青いテープの部分の面積が最も少なくなるのは、2個の正方形が領域BとCにあるとき(展開図5、6、8、9、10)で、その面積は、140+30+30=200cm2 です。

一方、最も多くなるのは、2個の正方形が領域AとDにあるとき(展開図1、4)で、その面積は、140+40+40=220cm2 です。

したがって、[ ウ ]は 200、[ エ ]は 220 で、これが答えです。

ちなみに、立方体の面を切り開いて展開図を作ることを可とすると、例えば図3のように、青いテープの部分の面積を194cm2 にすることができます。多分、これが最小値になると思うのですが、任意の切り開き方で展開図を作った場合について調べてはいません。


▲図3.立方体の面を切り開いて展開図を作ったときの例

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