東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの難しい問題(15)

2017-05-06 12:15:46 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

夏日が続き、今日の最高気温も28℃と暑い日になりました。明日も夏日になるようなので、近所のスーパーでビールを買い足しし、暑さ対策は万全です。

さて、今回は2002年日本数学オリンピック本選に出題された不等式の問題を取り上げます。

問題は、
「nを3以上の自然数とする。正の実数a1、a2、・・・、an、b1、b2、・・・、bn が、
     
をみたすとき、不等式

が成り立つことを証明せよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


とします。

不等式の左辺を展開すると、

になり、1番目の( )はコーシー・シュワルツの不等式が役に立ちそうな感じです。

2番目の( )は、



から導けるかなという感じで、とりあえず、

として、進めてみましょう。

初めに(3)の1番目の( )です。

コーシー・シュワルツの不等式から、

が成り立ち、これに(2)(4)を代入すると、

です。

次に(3)の2番目の( )です。


に(1)(4)を代入すると、

です。

すると(3)(5)(6)から

が成り立ちます。

ここで(7)の右辺を平方完成すると、

です。

一方、0<a1,a2,・・・,an<1 から、0<A<1 なので、

が成り立ち、(7)は、

です。

以上から、与えられた不等式

が成り立つことを示すことができました。


楽しい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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