東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(117)

2017-04-11 11:53:30 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

久しぶりにしっかりした雨が降り、少し寒い日になりましたが、明日は晴れて気温は20℃近くになります。さらに週の後半は20℃超の日が続き、過ごしやすくなりそうです。

さて、今回は2000年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「1か2か3の数字が書かれたカードがそれぞれ十分たくさんある。その中から、それぞれの数字のカードを奇数枚ずつ合計1999枚選び、一列に並べる。この方法は何通りあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ここは、漸化式を利用するのが簡単そうです。

1、2、3が書かれたカードを奇数枚ずつ合計n枚選び、一列に並べる方法をF(n)通りとします。

すると、F(3)は、1、2、3のカードの並べ方になるので、
F(3)=3!=6(通り)
です。

次に、F(n+2)を調べましょう。

1、2、3が書かれたカードを奇数枚ずつ合計n+2枚選び、一列に並べるのは、
[1] 1、2、3が書かれたカードが奇数枚ずつ合計n枚に、同じ数字の2枚のカードを加える
[2] 1、2、3の書かれたカードのうち2種類の数字のカードが偶数枚で残りの数字のカードが奇数枚の合計n枚に、偶数枚ある2種類のカードを1枚ずつ加える
の2つの場合になります。

[1]の場合、加えた2枚のカードが1、2、3のいずれかなので、n+2枚のカードの並べ方は、3F(n)通りです。

[2]の場合、「1、2、3の書かれたカードのうち2種類の数字のカードが偶数枚で残りの数字のカードが奇数枚の合計n枚」の並べ方は、n枚のカードの全ての並べ方3^n からF(n)を引いたものに等しくなります。

ここで、1と2、2と3、3と1の書かれたカードが偶数枚の場合のそれぞれの並べ方をp(n)、q(n)、r(n)とします。

すると、p(n)、q(n)、r(n)について、それぞれ加える2枚のカードは、1と2、2と3、3と1なので、それぞれのn+2枚のカードの並べ方は、p(n+2)=2p(n)、q(n+2)=2q(n)、r(n+2)=2r(n)で、
p(n+2)+q(n+2)+r(n+2)=2(p(n)+q(n)+r(n))
になります。

一方、

から、n+2枚のカードの並べ方の合計は、

になります。

したがって、

が成り立ち、これを整理して、
   (1)
と漸化式ができました。

あとは(1)からF(n)を計算し、F(1999)を求めるだけです。

まず、(1)の両辺に

を掛けて、

とします。

ここで、

とおき、
     (2)
とします。

この特性方程式9t=t+2からt=1/4なので、(2)は、

と変形でします。

すると、

です。

ここで、

から、

になり、n=1999として、

です。

したがって、1、2、3が書かれたカードを奇数枚ずつ合計1999枚選び、一列に並べる方法は、

で、これが答えです。


漸化式を利用しないと難しそうです。

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