東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(135)

2017-05-05 11:56:18 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

最高気温が26℃と少し汗ばむくらいの好天になりました。こんな日のために冷やしてあるビール(発泡酒ではありません)を夕方から飲むのが楽しみです。

さて、今回は2004年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「2004個の正の整数a1、a2、・・・、a2004 が、次の条件をみたしているとする。

●a1<a2<・・・<a2004 が成り立つ。
●2004以下の互いに異なる正の整数i、j、kについて、常にai×aj≠ak が成立する。

a2004 としてありうる値のうち、最小のものを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

2番目の条件で、ai=1 とすると、ai×aj=1×aj=aj になり、これは条件を満たしているので、a1=1 になりそうです。

次に、a2=2とすると、a2004以下の2の倍数の多くが条件を満たさなくなってしまい、a2004 を大きくする必要がありそうです。

これは、a2=3、4、・・・、44(≒√2004)の場合でも同様です。

そこで2004個の整数の組を(1,45,46,・・・,2047)としてみましょう。

すると、45×46=2070(>2047)から、(1,45,46,・・・,2047)の組は条件を満たしていることが判ります。

続いて、条件を満たす2004個の整数の組で、a2004≦2046になるものがないことを示しましょう。

(45-n)(44+n)、(ここで、1≦n≦43、nは整数) を計算すると、
44×45=1980
43×46=1978
42×47=1974
    ・
    ・
    ・
3 ×86= 258
2 ×87= 174      (★)
になります。

このとき、
 {45-(n+1)}{(44+(n+1)}-(45-n)(44+n)
=(44-n)(45+n)-(45-n)(44+n)
=-2n<0
から、(★)の右辺の積はすべて異なる1980以下の整数になり、したがって、(★)の43個の式のなかに43×3=129個の1980以下の整数が現われます。

すると2番目の条件から、129個の整数のうち少なくとも43個の整数が条件を満たす2004個の整数の組に含まれないことになり、
a2004≧2004+43=2047
になります。

以上をまとめると、(1,45,46,・・・,2047)は条件を満たすので a2004=2047で、かつ、a2004≧2047 から、a2004 の最小値は 2047 になり、これが答えです。


簡単な問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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