東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学入試問題H29(11のつづき)【灘中】

2017-01-30 11:46:50 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予想最高気温の20℃には届かないようですが、晴れてとても暖かい日になりました。夕方から冷え込んで、明日から寒い日が続くようです。とは言っても、今週末が立春で、今シーズンの寒さの底は抜けつつあります。

さて、今回は前回の平成29年度灘中入試問題のつづきです。

問題は、
「[1]、[2]、[3]、[4]と書かれた4枚のカードが横一列に並んでいます。この列に、次のA、B、Cのうちのいずれか1つだけを行うことを1回の操作として、この操作を繰り返し行います。

  A:左端にあるカードを、左から2番目にあるカードと左から3番目にあるカードの間に移動させる。
  B:左端にあるカードを、左から3番目にあるカードと左から4番目にあるカードの間に移動させる。
  C:左端にあるカードを、右端に移動させる。

[1][2][3][4]の順にカードを並べた状態から、この操作を始めます。
例えば、BACの順に操作を行うとカードの並びは
[1][2][3][4]→[2][3][1][4]→[3][2][1][4]→[2][1][4][3]
と変化します。

(1)この操作を3回繰り返し行うことにします。

 (ア)ACBの順に操作を行った後のカードの並びは[ ][ ][ ][ ]です。

 (イ)操作を3回行う方法は、各回ごとにA、B、Cのどれを選択するかで、全部で27通りあります。このうち、3回の操作後に左端のカードが、
    [4]であるような操作の方法は(  )通り、
    [3]であるような操作の方法は(  )通り
    [2]であるような操作の方法は(  )通り
    [1]であるような操作の方法は(  )通りあります。

 (ウ)27通りの操作方法のうち、例えばAAAのときも、BABのときも、操作後のカードの並びは[2][1][3][4]となります。このように2通り以上の操作方法で実現できるカードの並びで[2][1][3][4]以外のものは、[ ][ ][ ][ ]と[ ][ ][ ][ ]です。

(2)この操作を3回繰り返し行うと左端のカードが[2]になり、さらに3回繰り返し行うとカードの並びが[1][2][3][4]となるような計6回の操作方法は全部で何通りありますか。

(3)この操作を6回繰り返した後、カードの並びが[1][2][3][4]となるような6回の操作方法は全部で何通りありますか。」
です。

前回の結果をまとめておくと、
(★1)2通りの操作方法(一連の3回の操作)で、同じカードの並びになるのは、
・[1][2][3][4]-AAA または BAB→[2][1][3][4]
・[1][2][3][4]-AAB または BAA→[2][3][1][4]
・[1][2][3][4]-AAC または CAA→[2][3][4][1]
で、これらのいずれの場合も、操作前の左から2番目のカードは、操作後に左端になります。

(★2)2通り以上の操作方法で実現できるカードの並びは3通りとあり、それらは、すべて左端のカードが[2]であるような操作方法で実現されるので、左端のカードが[1]、[3]または[4]である操作方法には重複がありません。

さらに、左端にあるカードを除いた3枚のカードの並べ方は3書ける2×1=6通りなので、左端のカードが[1]、[3]または[4]である操作方法によって、すべてのカードの並び方を実現できます。

(★3)操作を3回繰り返して行うと左端が[2]になるのは、
AAA⇒[2][1][3][4]
AAB⇒[2][3][1][4]
AAC⇒[2][3][4][1]
BAA⇒[2][3][1][4]
BAB⇒[2][1][3][4]
BAC⇒[2][1][4][3]
CAA⇒[2][3][4][1]
CAB⇒[2][4][3][1]
CAC⇒[2][4][1][3]
の9通りです。

それでは(2)に取り掛かりましょう。

(★3)の9通りのカードの並びに操作を3回繰り返して、カードの並びを[1][2][3][4]にするには、
【1】 [2][1][3][4]、 [2][1][3][4]、 [2][1][4][3]に、(1)の(イ)の「左端のカードが[2]であるような操作の方法」を施す、 
【2】 [2][3][1][4]、 [2][3][1][4]、 [2][4][1][3]に、「左端のカードが[3]であるような操作の方法」を施す、
【3】 [2][3][4][1]、 [2][3][4][1]、 [2][4][3][1]に、「左端のカードが[4]であるような操作の方法」を施す必要があります。

【1】の[2][1][3][4]にAAAを施すと、[1][2][3][4]になり、(★3)のなかのBABは、AAAと同じカードの並びを実現するので、[2][1][3][4]にBABを施しても[1][2][3][4]になります。

したがって、[1][2][3][4]から、[2][3][1][4]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、4通りになります。

次に、【1】の[2][1][4][3]にBACを施すと、[1][2][3][4]になりますが、(★3)のなかにBACと同じカードの並びを実現するものはありません。

したがって、[1][2][3][4]から、[2][3][4][1]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、1通りになります。

【2】と【3】のカードの並びについては、(★2)から、それらを[1][2][3][4]にする操作方法は、それぞれについて1通りです。

したがって、[1][2][3][4]から、【2】と【3】のカードの並びを経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、6通りになります。

以上から、操作を3回繰り返して行うと左端のカードが[2]になり、さらに3回繰り返して行うとカードの並びが[1][2][3][4]になるような計6回の操作方法は全部で4+1+6=11通りで、これが答えです。

続いて(3)です。

ここでは(2)と同じように、3回の操作を繰り返した後の左端のカードが[1]、[3]または[4]の場合で分けて調べるのがよいでしょう。

●3回の操作を繰り返した後の左端のカードが[1]の場合
続いて施す3回の操作は、(1)の(ウ)の「左端のカードが[1]であるような操作の方法」で、これによって実現するカードの並びに重複はありません。

したがって、[1][2][3][4]から[1][*][*][*]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は6通りになります。

●3回の操作を繰り返した後の左端のカードが[3]の場合
この操作を施した後に実現する4枚のカードの並びは、
[3][1][2][4]
[3][1][4][2]
[3][2][1][4]
[3][2][4][1]
[3][4][1][2]
[3][4][2][1]
の6通りです。

[3][1][2][4]にBAAを施すと、[1][2][3][4]になり、(★3)のなかのAABは、BAAと同じカードの並びを実現するので、[3][1][2][4]にBAAを施しても[1][2][3][4]になります。

したがって、[1][2][3][4]から、[3][1][2][4]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、2通りになります。

[3][1][4][2]にCACを施すと、[1][2][3][4]になりますが、(★3)のなかにCACと同じカードの並びを実現するものはありません。

したがって、[1][2][3][4]から、[3][1][4][2]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、1通りになります。

その他の[3][2][1][4]、[3][2][4][1]、[3][4][1][2]、[3][4][2][1]については、続いて施す3回の操作が、(1)の(ウ)の「左端のカードが[3]または[4]であるような操作の方法」になり、これらによって実現するカードの並びに重複はありません。

したがって、[1][2][3][4]から、[3][*][1][*]または[3][*][*][1]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、合わせて4通りになります。

以上から、3回の操作を繰り返した後の左端のカードが[3]の場合の操作方法は、2+1+4=7通りになります。

●3回の操作を繰り返した後の左端のカードが[4]の場合
この操作を施した後に実現する4枚のカードの並びは、
[4][1][2][3]
[4][1][3][2]
[4][2][1][3]
[4][2][3][1]
[4][3][1][2]
[4][3][2][1]
の6通りです。

[4][1][2][3]にCAAを施すと、[1][2][3][4]になり、(★3)のなかのAACは、CAAと同じカードの並びを実現するので、[4][1][2][3]にAACを施しても[1][2][3][4]になります。

したがって、[1][2][3][4]から、[4][1][2][3]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、2通りになります。

[4][1][3][2]にCABを施すと、[1][2][3][4]になりますが、(★3)のなかにCABと同じカードの並びを実現するものはありません。

したがって、[1][2][3][4]から、[4][1][3][2]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、1通りになります。

その他の[4][2][1][3]、[4][2][3][1]、[4][3][1][2]、[4][3][2][1]については、続いて施す3回の操作が、(1)の(ウ)の「左端のカードが[3]または[4]であるような操作の方法」になり、これらによって実現するカードの並びに重複はありません。

したがって、[1][2][3][4]から、[4][*][1][*]または[4][*][*][1]を経由して、[1][2][3][4]にする計6回の操作方法は、合わせて4通りになります。

以上から、3回の操作を繰り返した後の左端のカードが[4]の場合の操作方法は、2+1+4=7通りになります。

ここで、いままでの結果をまとめると、
[1][2][3][4]から[1][*][*][*を経由して[1][2][3][4]になる計6回の操作方法は、6通り、
[1][2][3][4]から[2][*][*][*を経由して[1][2][3][4]になる計6回の操作方法は、11通り、
[1][2][3][4]から[3][*][*][*を経由して[1][2][3][4]になる計6回の操作方法は、7通り、
[1][2][3][4]から[4][*][*][*を経由して[1][2][3][4]になる計6回の操作方法は、7通りであることが判りました。

したがって、操作を6回繰り返した後、カードの並びが[1][2][3][4]になるような6回の操作方法は全部で6+11+7+7=31通りで、これが答えです。


長くなってしまいましたが、調べている内容は簡単なので、解答時間はそれほどかからないでしょう。

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