東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(119)

2017-04-15 12:04:58 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し強い南風が吹いていて、最高気温の予想が24℃と昨日に比べて急上昇です。明日はさらに上がって夏日の予報です。暖かく過ごしやすい週末になるようです。

さて、今回は2004年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に三角形ABCがあり、AB=16、BC=5√5、CA=9である。三角形ABCの外部で、点Bと点Cの少なくとも一方からの距離は6以下であるような部分の面積を求めよ。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

図1で赤色でマークした部分の面積を求めることになります。

ここで図2のように、△ABCの外接円を描いてみると、どうやら点Dはその周上にありそうです。


▲図2.△ABCの外接円の周上に点Dがありそうです

もし、△ABCの外接円の周上に点Dがあると、四角形ABDCは円に内接する四角形になります。

すると、∠ABD+∠ACD=180°になり、扇形BDEと扇形CDFの面積の和(図2の赤色マーク部分)は、半径6の円の面積の2倍から、半径6で中心角が180°の扇形の面積を引いたものになります。

したがって、求める面積は、扇形BDEと扇形CDFと△BCD(紫色のマーク部分)の和になり、簡単に計算できそうです。

そこで、問題は四角形ABDCが円に内接するかということになるわけですが、これは三角関数の余弦定理を利用すれば簡単に示すことができます。

しかし、ここでは余弦定理を使わず、ヘロン公式とトレミーの定理を利用して調べてみます。

図3のように、点Aと点Dから直線BCに下ろした垂線の足をそれぞれGとHとします。


▲図3.点Aと点Dから直線BCに下ろした垂線の足をそれぞれGとHとします

直角三角形ABGと直角三角形ACGに三平方の定理を適用すると、
    (1)

    (2)
を得ます。

(1)-(2)から

で、これと(2)から

です。

したがって、

です。

次に、直角三角形CDHに三平方の定理を適用すると、

で、

です。

したがって、
    (3)
です。

以上から、

になります。

続いて図4のように、AD=xとして、ヘロンの公式を使って四角形ABDCの面積を表すと、


から、
    (4)
です。


▲図4.AD=xとして、ヘロンの公式を使って四角形ABDCの面積を表します

ここで、(3)と(4)からxを求めたいのですが、かなり難しそうです。

そこで、四角形ABDCが円に内接しトレミーの定理が成り立つとして、それからxを計算し、それを(4)の右辺に代入して四角形ABDCの面積が(3)と一致するかを調べることにしましょう。

トレミーの定理から
AB・CD+AC・BD=AD・BC
とし、AB=16、CD=6、AC=9、BD=6、AD=x、BC=5√5を代入して、

です。

これを(4)の右辺に代入すると、

になり、(3)と一致しました。

したがって、四角形ABDCは円に内接することが判りました。

あとは上記したように、求める面積Sを計算すると、

で、これが答えです。


四角形ABDCが円に内接することに気がつけば簡単な問題です。

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