東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(137)

2017-05-13 11:58:34 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り雨になり、昨日までの暑さがクールダウンして快適な気温になりました。明日以降も、次から次へと低気圧がやってきて曇りの日が続き、晴れ間が戻ってくる来週末まで、過ごしやすい日が続くようです。

さて、今回は2008年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「2008人の男子と2008人の女子が集まってプレゼント交換をする。男子は花束を、女子はチョコレートをプレゼントとして用意し、円形に並べられた椅子に全員が内側を向いて座る。
 このとき、「持っているプレゼントを全員同時に右隣の人に渡す」という動作を何回か繰り返すと、男子全員がチョコレートを、女子全員が花束を持っている状態になった。男子が座っている椅子の組合せとして考えられるものは何通りあるか。」
です。

前回の問題のシチュエーションに似ていますが、ここではチョコレートを受け取った男子と花束を受け取った女子が円から抜けていきません。

それでは調べていきましょう。

男子全員が花束を、女子全員がチョコレートを持っている状態(以下、状態A)から始めて、n回の動作後、男子全員がチョコレートを、女子全員が花束を持っている状態(以下、状態B)になったとすると、2n回の動作後では状態Aに戻ります。

さらに、3n回の動作後には状態B、4n回の動作後には状態A、・・・、とうい具合に繰り返していきます。

一方、男子と女子の合計人数は4016人なので、4016回の動作後には状態Aになるので、nは、
n×偶数=4016
を満たさなければならず、したがって、
n=1、2、4、8、251、502、1004、2008
になります。

これらの8通りのnについて、男子の座っている椅子の組合せを勘定するわけですが、251が奇数なので、1×251=251、2×251=504、4×251=1004、8×251=2008から、n=1、2、4、8のときの男子の座っている椅子の組合せは、n=251、502、1004、2008ときの男子の座っている椅子の組合せに含まれることになります。(例えば、n=1のときの男子の座っている椅子の組合せの1つである、[男子][女子]と2人の組を2008個並べたものは、[男子][女子]・・・[女子][男子]と251人並べた組と、それに続いて[女子][男子]・・・[男子][女子]と251人並べた組を交互に16個並べたものと同じになります)

つまり、n=251、502、1004、2008のときの男子の座っている椅子の組合せを勘定すればよいことになります。

そこで、4016個の椅子が区別されているとして、これらの椅子に順に1から4016番を割り付け、1からn番目のそれぞれの椅子に男子または女子を座らせます。

続いて、男子の座った椅子の番号にnを加えた椅子に女子、女子の座った椅子の番号にnを加えた椅子に男子を座らせ、そしてこれを繰り返して全員を椅子に座らせると、n回の動作後に状態Bになる男子が座っている椅子の組合せが決まります。

つまり、1からn番目までの男子または女子の座る椅子の組合せが決まれば、残りの椅子に男子が座るか女子が座るかが決まることになります。

そして、1からn番目までの椅子に座る男子と女子の組合せは

なので、男子の座る椅子の組合せは、n=251、502、1004、2008の場合の合計

になり、これが答えです。


重複する座り方を除くことに注意が必要です。

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