東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(115)

2017-04-08 13:22:01 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

いつ雨が降ってもおかしくない曇り空ですが、それでも気温は18℃ほどあり、過ごしやすい日になりました。明日から少しずつ寒くなり、明々後日は最高気温が12℃という予報で、花冷えとなるようです。

さて、今回は2017年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ABCは∠B=90°、AB=8、BC=3をみたす。辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがあり、∠CRP=∠CRQ、∠BPR=∠CPQをみたす。また、三角形PQRの周の長さは 12 である。このとき、Qから辺BCにおろした垂線の長さを求めよ。
ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

△QPCの面積とその底辺PCを求めることができれば、手間はないのですが、そう簡単にいきそうもありません。

そこで、△PQRの周の長さ 12 という条件を少しでも使いやすくするため、図2のように、直線PRの点Rと反対側の延長上に、PQ=PQ’となる点Q’をとりましょう。このとき、点Qから辺BCに下ろした垂線の足をHとしました。


▲図2.点Q’をとりました

すると、△PQH≡△PQ’Hから∠PHQ’=90°なので、点Q’は直線QH上にあります。

さらに図3のように、辺BCを対称軸として、点Rに対応する点をR’とすると、∠CRQ’=∠CR’Qから∠CRQ=∠CR’Qが成り立ちます。


▲図3.点R’をとりました

すると、円周角の定理の逆から、点C、Q、R、R’は同一円周上にあり、さらに点QとQ’は、辺BCを対称軸として対応する点なので、点C、Q、Q’、R、R’は同じ円周上にあります。

このとき、弧CQ’の円周角は等しいので、∠CRQ’=∠CQQ’=∠CQHが成り立ち、さらにAB//QHから、∠A=∠CQHです。

したがって、△ABC∽△QHCが成り立ちます。

そこで図4のように、QH=hとすると、QQ’=2h、CH=3/8・h、BH=3-3/8・hから
   (1)
になります。


▲図4.QQ’を底辺として△RQQ’の面積をhで表します

次に、辺RQ’を底辺としたときの△RQQ’の面積を調べましょう。

図5のように、点Qから直線RQ’に下ろした垂線の足を I 、直線RCと直線QI の交点をJとします。

そして、RQ=a、RQ’=b、RI=xとおくと、a+b=12 になります。


▲図5.RQ’を底辺として△RQQ’の面積をhで表します

このとき、△RIJ∽△ABCから、IJ=3/8・xです。

一方、角の2等分線定理から、RI:RQ=IJ:QJが成り立ち、ここにRI=x、RQ=a、IJ=3/8・xを代入して、
x:a=3/8・x:QJ
QJ=3/8・a
です。

したがって、
QI=3/8・x+3/8・a
  =3/8・(x+a)
になり、
    (2)
です。

続いて、△RQHと△Q’QHに三平方の定理を適用すると、



が成り立ちます。

これらの辺々を引くと、

から
     (3)
になります。

ここで、(3)を(2)に代入すると、

になり、a+b=12 ですから、
     (4)
です。(上手くaとbが消えました)

ここまでで、△RQQ’の面積を2つのhの式で表すことができました。

あとは、 (1)と(4)が等しいことから、

で、これを整理して、

です。

以上から、点Qから辺BCに下ろした垂線の長さは 9/2 で、これが答えです。


最後に上手くaとbが消えてくれました。楽しい問題です。

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