東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

平成29年度都立高校入試問題(13)【国立高】

2017-04-14 14:05:55 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し風があるものの、強い陽射しで、暖かい日になりました。明日はさらに気温が上がり、明後日には夏日になるようです。



さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問2の関数とグラフの問題で、それは、
「下の図1で、点Oは原点、曲線 f は関数y=k/x (ただし、k>0) のx>0の部分のグラフを表している。


▲図1.問題図(1)

次の各問に答えよ。

[問1] kは1桁の正の整数とする。曲線 f 上にある点(1,k)のように、x座標と y座標がともに正の整数である点が(1,k)以外に1つだけあるようなkの値は何通りあるか。

[問2] 下の図2は、図1において、曲線 f 上にあり x座標が y座標より大きい点をA、曲線 f 上にあり x座標が点Aの x座標より小さい点をBとした場合を表している。


▲図2.問題図(2)

次の(1)、(2)に答えよ。

(1) 下の図3は、図2において、2点A、Bを通る直線と x軸との交点をCとした場合を表している。


▲図3.問題図(3)

      点Aの y座標が2/3、点Bの x座標が2、

BA:AC=2:1であるとき、2点A、Bを通る直線の式を求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

(2) k=6とする。下の図4は、図2において、点Bを通りy軸に平行な直線と、x軸の交点をDとし、点Aと点B、点Aと点Dを結んだ場合を表している。


▲図4.問題図(4)

点Aの x座標と点Bの y座標が等しく、△ABDの面積が3cm2であるとき、点Aの座標を求めよ。
ただし、原点から点(1,0)までの距離、および点(0,1)までの距離をそれぞれ1cmとする。」
です。

まず、[問1]です。

y=k/xから、xy=kで、1≦k≦9 (kは整数)なので、
1≦xy≦9
です。

このとき、x、yは正の整数なので、xとyはkの約数になり、約数xとyの組合せが2個になるのは、kが素数の場合です。

したがって、k=2、3、5、7の場合で、答えは 4通り です。

次に[問2]の(1)です。

図5のように、A、Bの座標はそれぞれ(3k/2,2/3)、(2,k/2)です。


▲図5.A、Bの座標は、それぞれ(3k/2,2/3)、(2,k/2)です

BA:AC=2:1からBC:AC=3:1なので、点BとAの y座標の比は3:1になります。

つまり、
k/2:2/3=3:1
が成り立ち、
k=4
です。

これから点AとBの座標は、それぞれ(6,2/3)、(2,2)になります。

直線ABの式をy=px+qとし、これが点A、Bを通ることから、
2/3=6p+q
2=2p+q
が成り立ちます。

この連立方程式を解いてp、qを計算すると、
p=-1/3
q=8/3
になり、2点A、Bを通る式は、

で、これが答えです。

最後の[問2]の(2)です。

図6のように、点Aのx座標を t とおくと、y座標は6/tで、点Aの x座標と点Bの y座標が等しいので、点Bの y座標は6/tで、x座標は6/tになります。


▲図6.点Aの x座標を t とおいて、点AとBの座標を t で表しました

このとき、点Aから直線BDにおろした垂線の足をHとすると、
(△ABDの面積)=BD×AH×1/2
で、BD=t、AH=t-6/tなので、

になり、これが3cm2になるので、


から

です。

したがって、点Aの座標は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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