東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(62)

2016-10-17 13:06:31 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

日本を覆っていた高気圧が東に去り、気圧の谷の今日、明日は雨模様です。明後日には西から来る高気圧に覆われて晴れになります。変わりやすい秋の空です。

さて、今回は2005年日本数学オリンピック予選に出題された関数とグラフの問題を取り上げます。

問題は、
「直線 l :4x+3y=1上にない格子点と l 上の点としてありうる値のうち、最小のものを求めよ。ただし、格子点とはx座標とy座標がともに整数であるような点である。」
です。

早速、図1のように、問題のグラフを描きましょう。


▲図1.問題のグラフを描きました

図1から、格子点と直線 l との距離が最小になるものの一つは、図2の赤丸でマークしたところで、それを第1象限に拡大しました。


▲図2.赤丸でマークしたところが格子点と直線lとの距離が最小になります

三角形のx、y軸に平行な辺の長さは、それぞれ1/4、1/3なので、三平方の定理を使って、
(斜辺の長さ)^2=(1/4)^2+(1/3)^2
          =1/16+1/9
          =25/144
で、
(斜辺の長さ)=5/12
です。

一方、三角形の面積Sは、x軸に平行な辺を底辺とすると、
S=1/4・1/3・1/2
 =1/24
です。

また、斜辺を底辺とすると、
S=(斜辺の長さ)×(格子点と直線lとの距離)×1/2
 =5/12・(格子点と直線lとの距離)×1/2
 =5/24.(格子点と直線lとの距離)
です。

したがって、
1/24=5/24・(格子点と直線 l との距離)
になり、
(格子点と直線 l との距離)=1/5
です。

以上から、直線 l 上にない格子点と直線 l との距離の最小値は1/5で、これが答えです。

上の解答では、格子点と直線 l との距離が最小になるところを目分量で決めているので、もう少しきちんとやりましょう。

直線 l 上にない格子点をA(a,b)とし、その格子点と直線 l との距離をdとすると、
d=l4a+3b-1l/√(4^2+3^2)
 =l4a+3b-1l/5
になります。(参考:中学生でも解ける東大大学院入試問題(39)

このとき、a、bは整数なので、4a+3b-1は整数です。

さらに、点Aは直線 l 上でないことから、4a+3b≠1で、つまり、4a+3b-1≠0です。

したがって、l4a+3b-1l≧1で、ここで、a=b=0のとき、等号が成立するので、dの最小値は1/5になります。


簡単な問題です。

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