東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(71)

2016-09-19 13:52:31 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気図を見ると、台風16号が九州に上陸し、その後、四国、紀伊半島、東海、関東と日本を横断しそうな様子です。今年は上陸する台風が多いですね。十分に注意しましょう。

さて、今回は2014年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「円に内接する五角形ABCDEがあり、AB=2、BC=5、CD=2、DE=5、AD=8である。このとき線分BEの長さを求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

図2のように、五角形ABCDEの残りの対角線を引くと、AC=BD=CEとなるので、ここではトレミーの定理がぴったりです。


▲図2.AC=BD=CEです

ここで、AC=BD=CE=a、BE=xとしましょう。

まず、図3に示す四角形ABCDについて、トレミーの定理から
AC・BD=AB・CD+BC・AD
a^2=2・2+5・8
  =44           (1)
です。


▲図3.四角形ABCDに注目します

次に、図4に示す四角形BCDEについて、トレミーの定理から
BD・CE=BC・DE+CD・BE
a^2=5・5+2x
  =25+2x        (2)
です。


▲図4.四角形BCDEに注目します

(1)を(2)に代入して、
44=25+2x
x=19/2
です。

したがって、線分BEの長さは19/2で、これが答えです。


トレミーの定理は、以前の記事(トレミーの定理)で取り上げたように、三角形の相似を使って証明することがでます。覚えやすい式で役に立つので頭に入れておくとよいでしょう。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« ジュニア数学オリンピックの... | トップ | ジュニア数学オリンピックの... »
最近の画像もっと見る

コメントを投稿

数学・算数の話」カテゴリの最新記事

トラックバック

この記事のトラックバック  Ping-URL