東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

整数問題(13)[灘高]

2018-01-12 11:24:42 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2013年灘高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の[ ]内に適する数を記入せよ。

nも

もともに正の整数となるのは、n=[ ]のときである。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


とおき、この両辺を2乗すると、

です。

これを整理・変形して、

としましょう。

ここで、N+n>N-n>0で、N-n、N+nは正の整数なので、(★)を満たすN-nとN+nの組合せ(N-n,N+n)は、
(1,2012)(2,1006)(4,503)
になります。

●(1,2012)の場合
N-n=1
N+n=2012
から、
2N=2013
N=2013/2
になり、これはNが正の整数であることに反します。

●(2,1006)の場合
N-n=2
N+n=1006
から、
2N=1008
N=504
です。

このとき、n=502になり、これはすべての条件を満たします。

●(4,503)の場合
N-n=4
N+n=503
から、
2N=507
N=507/2
になり、これはNが正の整数であることに反します。

以上から、n=502 が答えになります。


簡単な問題です。

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