東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(125)

2017-04-04 12:37:51 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高気圧が太平洋上を移動していて、今夜には関東の南海上に達するようです。そのため、南風が吹き込み、明日からしばらく20℃超の暖かい日が続きます。


さて、今回は2007年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の整式の問題を取り上げます。

問題は、
「実数を係数とする3次の3変数多項式f(x,y,z)であって、次の条件を満たすものを1つ求めよ。

●f(x,y,z)+x は y+z で割り切れる。
●f(x,y,z)+y は z+x で割り切れる。
●f(x,y,z)+z は x+y で割り切れる。

ただし、多項式P(x,y,z)が多項式Q(x,y,z)で割り切れるとは、P(x,y,z)=Q(x,y,z)R(x,y,z)となる多項式R(x,y,z)が存在することをいう。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた3つの条件から、
f(x,y,z)+x=(y+z)q1(x,y,z)             (1)
f(x,y,z)+y=(z+x)q2(x,y,z)             (2)
f(x,y,z)+z=(x+y)q3(x,y,z)             (3)
が成り立ちます。

ここで、(1)の両辺に y+z、(2)の両辺に z+x、(3)の両辺に x+y を加えると、(1)、(2)、(3)はそれぞれ、
f(x,y,z)+x+y+z=(y+z)q1(x,y,z)+y+z
             =(y+z)(q1(x,y,z)+1)     (4)

f(x,y,z)+x+y+z=(z+x)q2(x,y,z)+z+x
             =(z+x)(q2(x,y,z)+1)     (5)

f(x,y,z)+x+y+z=(x+y)q3(x,y,z)+x+y
             =(x+y)(q3(x,y,z)+1)     (6)
になります。

これらの(4)、(5)、(6)は、f(x,y,z)+x+y+z がそれぞれ y+z、z+x、x+y を因数にもつことを表しているので、
f(x,y,z)+x+y+z=(x+y)(y+z)(z+x)q0(x,y,z)
になります。

一方、f(x,y,z)は3次式なので、q0(x,y,z)は定数(≠0)です。

ここで、q0(x,y,z)=1とすると、
f(x,y,z)+x+y+z=(x+y)(y+z)(z+x)
から、
f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)-(x+y+z)
で、これが与えられた条件を満たすf(x,y,z)の1つになります。


簡単な問題です。

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