東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

平成29年度都立高校入試問題(12)【国立高】

2017-04-12 14:10:55 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中には少し強い北風が吹いていましたが、その風も冷たくはなく、冬将軍は遠くに行ってしまったようです。昼過ぎには風も治まって、春らしい過ごしやすい日になりました。明日は少し気温が下がりますが、明後日から暖かい日が続きます。

さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問4の立体図形問題で、それは、
「下の図1に示した立体ABCDE-FGHIJは、AB=AE=5cm、BC=ED=8cm、CD=6cm、∠BCD=∠CDE=90°、AF=6cmで、側面がすべて長方形の五角柱である。
辺BG、辺EJ上の点をそれぞれK、Lとする。


▲図1.問題図(1)

次の各問に答えよ。

[問1] 下の図2は図1において、辺AF上の点をPとし、点Pと点K、点Pと点Lをそれぞれ結んだ場合を表している。
     BK=JL=1cm、l=PK+PLとする。
     l が最もちいさくなるとき、l は何cmか。


▲図2.問題図(2)

[問2] 下の図3は図1において、辺FG、辺FJの点をそれぞれM、Nとし、MG=NJ、GK=JLである場合を表している。
     KC:BC=13:12、GK:GM=4:5のとき、四角形KLNMの面積は何cm2か。
     ただし、答えだけでなく、答えを求める過程がわかるように、図や途中の式などもかけ。


▲図3.問題図(3)

[問3] 下の図4は図1において、5点F、K、C、D、Lが同じ平面上にある場合を表している。
     6点A、B、E、F、K、Lを頂点とする立体AF-BELKの体積は何cm3か。」


▲図4.問題図(4)

です。

早速、図5のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図5.与えられた条件を書き入れました(側面はすべて長方形です)

それでは[問1]です。

図6に示した、線分PKと線分PLの長さの和の最小値を求める問題です。


▲図6.線分PKと線分PLの和の最小値を求めます

図7のように、面ABGFと面AEJFを広げて一つの平面にしたときの線分KLの長さが l の最小値になります。


▲図7.面ABGFと面AEJFを一つの平面にして、点Kと点Lを直線で結びました

図7で、KQ=10cmです。

また、点Kから辺EJに下ろした垂線の足をQとすると、LQ=6-1-1=4cmです。

そして、△KLQに三平方の定理を適用して、
KL^2=KQ^2+LQ^2
で、KQ=10cm、LQ=4cmを代入して、
KL^2=10^2+4^2
   =100+16
   =116
から
KL=√116
  =2√29cm
になります。

したがって、l が最も小さくなるとき、l は 2√29cm で、これが答えです。

次に[問2]です。

四角形KLNMは、図8(右側の図)の直線STを対称軸とする線対称図形なので、台形になります。したがって、その面積を計算するためには、上底MN、下底KL、高さSTの長さを求めればOKです。


▲図8.四角形KLNMは台形なので、上底MN、下底KL、高さSTの長さを求めて面積を計算します

初めに上底MNの長さを求めましょう。

△BCKは直角三角形なので、KC:BC=13:12から、KB:BC=5:12になります。

したがって、KB=10/3cmで、GK=6-10/3=8/3cmになります。

さらに、GK:GM=4:5から、GM=5/4・GK=10/3cmです。

次に図8(左上側)のように、△FGJに注目すると、FM=FG-GM=5-10/3=5/3cmで、FG:FM=5:5/3=3:1です。

このとき、△FGJ∽△FMNなので、GJ:MN=FG:FM=3:1で。GJ=6cmから、MN=2cmです。(上底の長さが判りました)

続いて、下底KLの長さですが、これはは線分CDの長さと等しいので、KL=6cmです。

最後に、高さSTを求めましょう。

図8(左上側)の△FGRに注目すると、FG=5cm、GR=3cmなので、FR=4cmになります。

また、FR:SR=3:2から、SR=2/3・FR=8/3cmです。

ここで、図8(左下図)の△SRTに注目すると、SR=RT=GK=8/3cm、∠SRT=90°なので、ST=8√2/3cmです。(高さが判りました)

以上から、
(四角形KLNMの面積)=(MN+KL)×ST×1/2
               =(2+6)×8√2/3×1/2
               =8×8√2/3×1/2
               =32√2/3 cm2
で、これが答えです。

最後の[問3]です。

図9のように、辺CDの中点をUとして、△AFUを作ります。


▲図9.△AFUを作りました

ここで、線分KLの中点をVとすると、点Vは、5点F、K、C、D、Lで作られる平面上にあり、辺FU上にあり、線分BEの中点Wは辺AU上にあります。

したがって、△AFU∽△WVUからAF:AU=WV:WUが成り立ち、ここに、AF=6cm、AU=4+8=12cm、WU=8cmを代入して、
6:12=WV:8
WV=4cm
です。

また、辺AF上に頂点Aからの長さが4cm(線分WVの長さ)にある点をXとすると、立体AF-BELKは、三角錐F-XKLと三角柱ABE-XKLに分けることができるので、(立体AF-BELKの体積)=(三角錐F-XKLの体積)+(三角柱ABE-XKL)になります。

そして、
(三角錐F-XKLの体積)=(△XKLの面積)×FX×1/3
                =6×4×1/2×(6-4)×1/3
                =8cm3
(三角柱ABE-XKLの体積)=(△XKLの面積)×AX
                  =6×4×1/2×4
                  =48cm3
から、
(立体AF-BELKの体積)=8+48
                 =56 cm3
になり、これが答えです。


簡単な問題です。

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