東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

合同な図形で分割して面積を求める問題

2017-08-13 10:59:21 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

公立中高一貫校対策問題集には平面図形の問題があるのですが、それらのいくつかは簡単な図形を合同な図形(ほとんど三角形です)に分割して面積などを求めるもので、これに取り組んでいる小5の塾生はスラスラ解いてしまうので、本人の希望により、少し難しい問題を出題しました。

問題は、
「下図のように、△ABCの各頂点A、B、Cと、それらの対辺を1:2に分ける点を結んでできる△DEFの面積は、△ABCの面積の何倍ですか」


▲問題図

です。

下図のように、△DEFの各辺と平行な直線を引いて、△DEFと合同な三角形を作るという解法パターンを知っていれば簡単です。


▲図.△DEFの各辺と平行な直線を引きました

図で、1つの辺を共有する2個の三角形を組み合わせた図形は平行四辺形になるので、それぞれの対辺の長さは等しくなり、したがって、六角形ARBPCQの内部にある13個の三角形は△DEFと合同です。

一方、四角形BPCF、CQAD、ARBEに注目すると、これらはいずれも平行四辺形で、その面積は△DEFの面積の4個分です。

そして、△BPC、△CQA、△ARBは、平行四辺形BPCF、CQAD、ARBEをそれぞれの対角線BC、CA、ABで分割した三角形なので、△BPC、△CQA、△ARBの面積は、平行四辺形BPCF、CQAD、ARBEの面積の1/2、つまり、△DEFの2個分です。

したがって、
(△ABCの面積)=(六角形ARBPCQの面積)-(△BPCの面積)-(△CQAの面積)-(△ARBの面積)
           =(△DEFの面積)×13-(△DEFの面積)×2-(△DEFの面積)×2-(△DEFの面積)×2
           =(△DEFの面積)×7
になり、
(△DEFの面積)/(△ABCの面積)=(△DEFの面積)/(△DEFの面積)×7
                      =1/7
です。

以上から、△DEFの面積は、△ABCの面積の 1/7 倍 で、これが答えです。


平成29年度の灘中入試問題にも同じような方法で簡単に解けるものが出題されています。興味がある人は調べてみて下さい。(中学入試問題H29(9)【灘中】

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