東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(128)

2017-04-18 13:10:35 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜のしっかりした雨は今朝には上がっていて、昼前には雲の間から晴れ間が見られるようになりました。これから晴れ間がひろがり、最高気温は28℃に達するようです。

さて、今回は2003年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「正4面体ABCDがある。頂点Aからアリが辺をつたって進み、残りの3つの頂点をちょうど1回ずつ経由して、頂点Aに戻ってくる。このような進み方は何通りあるか。」


▲問題図

です。

全ての経路を書き上げると、
(1) A→B→C→D→A
(2) A→B→D→C→A
(3) A→C→B→D→A
(4) A→C→D→B→A
(5) A→D→B→C→A
(6) A→D→C→B→A
で、答えは 6通り です。

計算で答えを求めるには、頂点Aの次に通る頂点は3通り、次の頂点は2通り、さらに次の頂点は1通り、最後に頂点Aに戻るのは1通りで、これらを掛け合わせて、
3×2×1×1=6通り
になります。

ついでに、下図のような正4面体を2つ組み合わせた図形で調べてみましょう。


▲図.正4面体を2つ組み合わせた図形で調べます


この場合、頂点Eから頂点Aに直接戻ることができないので、(1)から(6)の経路の2番目または3番目の→の後に頂点Eがこなければなりません。

したがって、経路は6×2=12通りです。

計算で答えを求めてみましょう。

頂点Aから次に通る頂点は3通りで、次に頂点Eに進む場合とそうでない場合で場合分けをします。

●頂点Eに進む場合
2番目の頂点から頂点Eに進むのは1通り、次の頂点は2通り、さらに次の頂点は1通り、最後に頂点Aに戻るのは1通りで、この場合の経路は、
3×1×2×1×1=6通り
です。

●頂点E以外に進む場合
2番目の頂点から頂点E以外に進むのは2通り、次は頂点Eに進むので1通り、さらに次の頂点は1通り、最後に頂点Aに戻るのは1通りで、この場合のの経路は、
3×2×1×1×1=6通り
です。

したがって、すべての経路は、
6+6=12通り
になります。


簡単な問題です。

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