東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(80)

2016-10-19 13:06:39 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日は暑かったですが、今日は23℃とちょうどよい気温です。ところが、明日はまた暑くなるようで、気温差の大きい日が続いています。風邪などひかぬよう気をつけて過ごしましょう。

さて、今回は2015年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に3つの円A、B、Oがあり、Aの半径は12、Bの半径は8である。また、AとBは互いに他の外部にあり、ともにOの内部にある。Oの中心はAの中心とBの中心の中点である。Oの弦であり、A、Bの両方に接するものの長さは2通りあるが、それらをp、q(p>q)とするとき、p^2-q^2を求めよ。」
です。

▲問題図

初めに、図1のように、問題図に与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました

図1を眺めると、2つの円A、Bの共通接線の長さを求めることに心惹かれますが、円A、Bの中心間の長さも円Oの半径も与えられていないので、少し難しそうです。

そこで、円Oの中心を頂点とする二等辺三角形を作って、弦の長さを計算する方針でいきましょう。

その準備として、図2のように、円O、A、Bの中心をそれぞれO1、Oa、Ob、円AとBとの共通内接線を l 、共通外接線をm、接線 l と円A、Bとの接点をそれぞれC、D、接線mと円A、Bとの接点をそれぞれE、F、直線OaObと接線 l との交点をGとしましょう。


▲図2.円の中心、接線、接点、交点に名前をつけました

まず、図3のように、△GOaCと△GObDに着目しましょう。このとき、O1から接線 l に下ろした垂線の足をMとします。


▲図3.△GOaCと△GObDに着目します

O1はOaとObとの中点ですから、
O1Oa:O1Ob=1:1=10:10    (1)
です。

また、△GOaC∽△GObDですから、
GOa:GOb=12:8           (2)
です。

すると、(1)(2)から
O1Oa:O1G:GOb=10:2:8
で、
O1M:OaC=GOa:GO1=2:12
が成り立ちます。

したがって、
O1M=2
です。

続いて、図4のように、台形OaObFEに着目しましょう。このとき、O1から接線mに下ろした垂線の足をNとします。


▲図4.台形OaObFEに着目します

O1N//OaE//ObF、O1Oa=O1Ob、OaE=12、ObF=8から
O1N=(OaE+ObF)/2=10
です。

これで準備が整いました。

図5のように、接線 l 、mと円Oの交点の一つをそれぞれP、Qとして、直角三角形O1MPとO1NQに三平方の定理を適用します。このとき、円Oの半径をrとします。


▲図5.直角三角形O1MPとO1NQに三平方の定理を適用します

直角三角形O1MPに三平方の定理を適用すると、
O1P^2=O1M^2+MP^2
が成り立ちます。

ここに、O1P=r、O1M=2、MP=p/2を代入すると、
r^2=2^2+(p/2)^2
r^2=4+p^2/4             (3)
です。

次に、直角三角形O1NQに三平方の定理を適用すると、
O1Q^2=O1N^2+NP^2
が成り立ちます。

ここに、O1Q=r、O1N=10、NQ=q/2を代入すると、
r^2=10^2+(q/2)^2
r^2=100+q^2/4           (4)
です。

そして(3)(4)から
4+p^2/4=100+q^2/4
が成り立ち、これを整理して、
p^2-q^2=(100-4)×4
      =96×4
      =384
で、これが答えです。


単純に円Oの弦の長さを求める方針でいけば、簡単な問題です。

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