東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

平成29年度都立高校入試問題(7)【共通】

2017-03-19 12:20:20 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

春らしい気持ちのいい天気が続きます。予想最高気温は19℃で、午後からさらに暖かくなるようです。明日も同じような陽気で、よい3連休になるようです。

さて、今回は平成29年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、共通問題に出題された大問5の立体図形問題で、それは、
「図1に示した立体A-BCDは、AB=8cm、BC=BD=6cm、∠ABC=∠ABD=90°、∠CBD=60°の三角すいである。


▲図1.問題図(1)

 辺ADの中点をMとする。
 辺BC上にある点をPとし、点Mと点Pを結ぶ。

 次の各問に答えよ。

[問1] 次の[ ]の中の「く」に当てはまる数字を答えよ。

点Pが辺BCの中点となるとき、線分MPの長さは、[く]cmである。

[問2] 次の[ ]の中の「け」「こ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図2は、図1において、辺AC上にある点をQとし、頂点Bと点M、頂点Bと点Q、点Mと点Q、点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。

BP=5cm、AQ=2cmのとき、立体M-QBPの体積は、[け]√[こ]cm3である。」


▲図2.問題図(2)

です。

まず図3のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図3.与えられた条件を書き入れました


それでは、[問1]から取り掛かりましょう。

[問1]では、図4のように、点Pは辺BCの中点です。


▲図4.点Pは辺BCの中点です

そこで図5のように、点Mから辺BDに垂線を下ろし、その足をNとすると、∠ABD=∠MND=90°からAB//MNです。


▲図5.点Mから辺BDに下ろした垂線の足をNとして、△MPNを調べます


すると、△ABDにおいて、中点連結定理から、点Nは辺BDの中点になり、MN=AB×1/2=4cmです。

続いて、△BCDに着目すると、点P、Nはそれぞれ辺BCと辺BDの中点なので、中点連結定理から、PN//CD、PN=CD×1/2です。

ここで、△BCDは1辺の長さが6cmの正三角形なので、CD=6cmで、したがって、PN=3cmです。

さらに、面ABDと面BCDは垂直に交わっているので、∠PNM=90°で、△PNMは斜辺でない2辺が3cmと4cmの直角三角形です。

以上から、△PNMに三平方の定理を適用して、
MP^2=MN^2+PN^2
    =3^2+4^2
    =9+16
    =25
から
MP=
で、[く]は になります。

次は[問2]です。

三角すいA-BCDの体積から三角すいM-BCDと三角すいA-BMQの体積を差し引いてもよいのですが、後者の体積を計算するのが煩雑そうです。

そこで、ここでは図6のように、△QBPを底面とし、点Mと底面との距離を計算することにしましょう。


▲図6.△QBPを底面とします

まず、底面とする△QBPの面積を計算しましょう。

そこで図7のように、点Qから辺BCに下ろした垂線の足をRとします。


▲図7.底面(△QBP)の面積を計算します

直角三角形ABCに三平方の定理を適用して、
AC^2=AB^2+BC^2
    =8^2+6^2
    =64+36
    =100
から
AC=10cm
です。

次に、△ABC∽△QRCなので、
AB:AC=QR:QC
が成り立ち、ここに、AB=8cm、AC=6cm、QC=AC-AQ=10-2=8cmを代入して、
8:10=QR:8
から
QR=32/5cm
です。

したがって、△QBPの面積は、
(△QBPの面積)=BP×QR×1/2
           =5×32/5×1/2
           =16cm2
です。

続いて、三角すいM-QBPの高さを計算しましょう。

図8のように、辺ABと辺ACの中点をそれぞれSとTとすると、中点連結定理から、MS//DB、MT//DC、ST//BCで、面BCDと面STMは平行で、面ABCと面STMは垂直です。


▲図8.面BCDと面STMは平行で、面ABCと面STMは垂直です

また、△BCD∽△STMなので、△STMは1辺の長さが3cmの正三角形です。

そして、点Mから辺STに下ろした垂線の足をUとすると、線分MUの長さが点Mと面BPQとの距離になります。

ここで、線分MUの長さは、1辺3cmの正三角形の高さなので、
MU=3√3/2cm
です。

以上から、三角すいM-QBPの体積は、
(三角すいM-QBPの体積)=(三角BPQの面積)×MU×1/3
                  =16×3√3/2×1/3
                  =8√3cm3
で、[け]は 、[こ]は が答えです。


簡単な問題です。

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