東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(68)

2016-10-29 13:04:52 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昼の東久留米の気温は20℃あるのですが、陽射しがないので少し寒く感じます。明日はさらに冷え込むようで、だんだん冬が近づいてきました。暖かくして過ごしましょう。

さて、今回は2014年日本数学オリンピック予選に出題された約数の問題です。

問題は、
「10!の正の約数dすべてについて1/(d+√10!)を足し合わせたものを計算せよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ここで、思い起こしたいのが、dが10!の約数だと10!/dも10!の約数になることです。

つまり、求める総和をS、10!の正の約数をd1、d2、・・・、dnとすると、

が成り立ちます。

そこで、

として、この右辺を計算すると、

になり、有難いことにdkが消えてしまいました。

したがって、

で、2Sは、1/√10!を10!の正の約数の個数(n)だけ足し合わせたものになります。

それでは10!の正の約数の個数を計算しましょう。

10!の正の約数の個数Nは、10!を素因数分解して、

から、
N=(1+1)(2+1)(4+1)(8+1)
 =270
です。

以上から、


で、求める総和は135/√10!です。


面白い問題でした。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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