東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(79)

2016-10-18 13:07:59 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

曇りの予報でしたが、陽射しが暖かく汗ばむほどいい天気になりました。これからしばらく晴れたり曇ったりの過ごしやすい日が続くようです。

さて、今回は2003年ジュニア数学オリンピックに出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「辺の長さがすべて整数であるような直角三角形がある。1つの辺の長さが18であるとき、この三角形の周の長さとして考えられる値をすべて求めなさい。」
です。

直角三角形の1つの辺の長さが18ということから、斜辺の長さが18の場合と、斜辺以外の辺の長さが18の場合を調べましょう。

そこで、下図のように、斜辺の長さが18のとき、他の2辺の長さをa、bとし、斜辺以外の辺の長さが18のとき、斜辺の長さをb、残りの辺の長さをaとします。このとき、a、bはどちらも正の整数です。


▲図.斜辺の長さが18の場合と斜辺以外の辺の長さが18の場合に分けました

まず、斜辺の長さが18の場合を調べましょう。

三平方の定理から、
a^2+b^2=18^2=324          (1)
が成り立ちます。

(1)から
a^2=324-b^2<324
なので、a^2の候補は、
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289
です。

これらのa^2の候補について、b^2=324-a^2からb^2を計算すると、順番に、
323、320、315、299、288、275、260、243、224、180、155、128、68、35
になり、平方数はありません。

したがって、斜辺の長さが18のとき、他の2辺が整数になる直角三角形はありません。

続いて、斜辺以外の辺の長さが18のときを調べましょう。

三平方の定理から
b^2=a^2+18^2=a^2+324       (2)
で、これを変形して、
(b+a)(b-a)=324=2^2×3^4
が成り立ちます。

ここで、b+aとb-aの組合せを(b+a,b-a)とすると、b+a>b-a>0(右の不等号は斜辺の長さ>その他の辺の長さから)ですから、それらは、
(324,1)、(162,2)、(108,3)、(81,4)、(54,6)、(36,9)、(27,12)
になります。

また、(b+a)+(b-a)=2bから、上記の組合せの2つの数の和は偶数なので、
(162,2)、(54,6)
の2つに絞り込むことができます。

これらの2つの組合せについて、aとbを計算して、直角三角形の周の長さを求めましょう。

●(162,2)の場合
b+a=162
b-a=2
から、
b=82
a=80
で、直角三角形の周の長さは、18+82+80=180です。

●(54,6)の場合
b+a=54
b-a=6
から
b=30
a=24
で、直角三角形の周の長さは、18+30+24=72です。

以上から、直角三角形の周の長さとして考えられる値は18072で、これが答えです。


ピタゴラス数の表を使って、斜辺またはそれ以外の辺の長さが18の約数であるものを探して見つけることもできます。

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