東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(120)

2017-04-16 14:11:00 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝のラジオで6月の陽気と言っていたように、まさに初夏のような天気になりました。明日は晴れのち雨ですが、気温は20℃を下回ることはないようで、暖かい日が続きます。

さて、今回は2000年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、


を41で割った余りを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


から
   (★)
です。

(★)の右辺を41で割った余りは、40から21までの整数を41で割った余りの積を41で割った余りと等しくなるので、
(40・39・38・・・22.21を41で割った余り)=((-1)・(-2)・(-3)・・・(-19)・(-20)を41で割った余り)
                            =(1・2・3・・・19・20を41で割った余り)
                            =(21!を41で割った余り)
になります。(合同式を使うほうが判りやすいです)

したがって、

を41で割った余りは21!を41で割った余りと等しく、21!と41は互いに素なので、

を41で割った余りは で、これが答えです。

他の解き方としては、例えば(★)の右辺を

とします。

続いて、この右辺の各整数を41で割った余りの積を作ると、

です。

さらに、右辺の整数を適当に組み合わせて、それらを41で割った余りの積を作ることを繰り返して余りを求めることができます。


簡単な問題です。

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