こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１２年麻布中入試問題で出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「１以上の２つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。たとえば、１８と１２の最大公約数は６なので、 １８÷８＋１２÷６＝３＋２＝５ となります。このことを ［１８，１２］＝５ と表すことにします。以下の問いに答えなさい。
（１）［（ア），（イ）］＝８ となるような整数（ア）、（イ）で、（ア）、（イ）の和が１６となるようなものを４つ答えなさい。
（２）［１２，（ウ）］＝８ を満たす整数（ウ）を２つ答えなさい。
（３）［３０，（エ）］＝９ を満たす整数（エ）をすべて答えなさい。 」
です。
早速、（１）から取り掛かりましょう。
（ア）と（イ）の最大公約数をＧとすると、
（ア）÷Ｇ＋（イ）÷Ｇ＝（（ア）＋（イ））÷Ｇ＝８
が成り立ちます。
一方、（ア）＋（イ）＝１６ であることから、
Ｇ＝２
になることが判りました。
すると、（ア）、（イ）はどちらも約数２をもつことから、（ア）、（イ）は偶数になります。
そこで、（ア）＋（イ）＝１６ を満たす、偶数（ア）、（イ）の組合せ（（ア），（イ））を 調べると、それは、
（２，１４）、（４，１２）、（６，１０）、（８，８）、（１０，６）、（１２，４）、（１４，２）
です。
さらに、これらの組合せで最大公約数が２になるものは、
（２，１４）、（６，１０）、（１０，６）、（１４，２）
で、これが答えです。
続いて（２）です。
１２の約数は、１、２、３、４、６、１２ なので、１２と（ウ）の最大公約数はこれらのいずれかになり、これで場合分けして調べていきましょう。
●最大公約数が１の場合
［１２，（ウ）］≧１２＋１＝１３ なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が２の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷２＋（ウ）÷２＝８ から、（ウ）＝４ですが、１２と４の最大公約数は４なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が３の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷３＋（ウ）÷３＝８ から、（ウ）＝１２ですが、１２と１２の最大公約数は１２なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が４の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷４＋（ウ）÷４＝８ から、（ウ）＝２０で、１２と２０の最大公約数は２なので、（ウ）＝２０のとき条件を満たします。
●最大公約数が６の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷６＋（ウ）÷６＝８ から、（ウ）＝３６で、１２と３６の最大公約数は１２なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が１２の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷１２＋（ウ）÷１２＝８ から、（ウ）＝８４で、１２と８４の最大公約数は１２なので、（ウ）＝８４のとき条件を満たします。
以上から、整数（ウ）は、２０、８４ で、これが答えです。
最後の（３）です。（２）と同じように進めてみましょう。
３０の約数は、１、２、３、５、６、１０、１５、３０ なので、３０と（エ）の最大公約数はこれらのいずれかになります。
●最大公約数が１、２、３の場合
［３０，（エ）］＝３０÷Ｇ＋（エ）÷Ｇ≧３０÷３＋（エ）÷３≧１０ なので、条件を満たす（エ）はありません。
●最大公約数が５の場合
［３０，（エ）］＝３０÷５＋（エ）÷５＝９ から、（エ）＝１５で、３０と１５の最大公約数は１５なので、条件を満たす（エ）はありません。
●最大公約数が６の場合
［３０，（エ）］＝３０÷６＋（エ）÷６＝９ から、（エ）＝２４で、３０と２４の最大公約数は６なので、（エ）＝２４のとき条件を満たします。
●最大公約数が１０の場合
［３０，（エ）］＝３０÷１０＋（エ）÷１０＝９ から、（エ）＝６０で、３０と６０の最大公約数は３０なので、条件を満たす（エ）はありません。
●最大公約数が１５の場合
［３０，（エ）］＝３０÷１５＋（エ）÷１５＝９ から、（エ）＝１０５で、３０と１０５の最大公約数は１５なので、（エ）＝１０５のとき条件を満たします。
●最大公約数が３０の場合
［３０，（エ）］＝３０÷３０＋（エ）÷３０＝９ から、（エ）＝２４０で、３０と２４０の最大公約数は３０なので、（エ）＝２４０のとき条件を満たします。
以上から、整数（エ）は、２４、１０５、２４０ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０１２年麻布中入試問題で出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「１以上の２つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。たとえば、１８と１２の最大公約数は６なので、 １８÷８＋１２÷６＝３＋２＝５ となります。このことを ［１８，１２］＝５ と表すことにします。以下の問いに答えなさい。
（１）［（ア），（イ）］＝８ となるような整数（ア）、（イ）で、（ア）、（イ）の和が１６となるようなものを４つ答えなさい。
（２）［１２，（ウ）］＝８ を満たす整数（ウ）を２つ答えなさい。
（３）［３０，（エ）］＝９ を満たす整数（エ）をすべて答えなさい。 」
です。
早速、（１）から取り掛かりましょう。
（ア）と（イ）の最大公約数をＧとすると、
（ア）÷Ｇ＋（イ）÷Ｇ＝（（ア）＋（イ））÷Ｇ＝８
が成り立ちます。
一方、（ア）＋（イ）＝１６ であることから、
Ｇ＝２
になることが判りました。
すると、（ア）、（イ）はどちらも約数２をもつことから、（ア）、（イ）は偶数になります。
そこで、（ア）＋（イ）＝１６ を満たす、偶数（ア）、（イ）の組合せ（（ア），（イ））を 調べると、それは、
（２，１４）、（４，１２）、（６，１０）、（８，８）、（１０，６）、（１２，４）、（１４，２）
です。
さらに、これらの組合せで最大公約数が２になるものは、
（２，１４）、（６，１０）、（１０，６）、（１４，２）
で、これが答えです。
続いて（２）です。
１２の約数は、１、２、３、４、６、１２ なので、１２と（ウ）の最大公約数はこれらのいずれかになり、これで場合分けして調べていきましょう。
●最大公約数が１の場合
［１２，（ウ）］≧１２＋１＝１３ なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が２の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷２＋（ウ）÷２＝８ から、（ウ）＝４ですが、１２と４の最大公約数は４なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が３の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷３＋（ウ）÷３＝８ から、（ウ）＝１２ですが、１２と１２の最大公約数は１２なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が４の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷４＋（ウ）÷４＝８ から、（ウ）＝２０で、１２と２０の最大公約数は２なので、（ウ）＝２０のとき条件を満たします。
●最大公約数が６の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷６＋（ウ）÷６＝８ から、（ウ）＝３６で、１２と３６の最大公約数は１２なので、条件を満たす（ウ）はありません。
●最大公約数が１２の場合
［１２，（ウ）］＝１２÷１２＋（ウ）÷１２＝８ から、（ウ）＝８４で、１２と８４の最大公約数は１２なので、（ウ）＝８４のとき条件を満たします。
以上から、整数（ウ）は、２０、８４ で、これが答えです。
最後の（３）です。（２）と同じように進めてみましょう。
３０の約数は、１、２、３、５、６、１０、１５、３０ なので、３０と（エ）の最大公約数はこれらのいずれかになります。
●最大公約数が１、２、３の場合
［３０，（エ）］＝３０÷Ｇ＋（エ）÷Ｇ≧３０÷３＋（エ）÷３≧１０ なので、条件を満たす（エ）はありません。
●最大公約数が５の場合
［３０，（エ）］＝３０÷５＋（エ）÷５＝９ から、（エ）＝１５で、３０と１５の最大公約数は１５なので、条件を満たす（エ）はありません。
●最大公約数が６の場合
［３０，（エ）］＝３０÷６＋（エ）÷６＝９ から、（エ）＝２４で、３０と２４の最大公約数は６なので、（エ）＝２４のとき条件を満たします。
●最大公約数が１０の場合
［３０，（エ）］＝３０÷１０＋（エ）÷１０＝９ から、（エ）＝６０で、３０と６０の最大公約数は３０なので、条件を満たす（エ）はありません。
●最大公約数が１５の場合
［３０，（エ）］＝３０÷１５＋（エ）÷１５＝９ から、（エ）＝１０５で、３０と１０５の最大公約数は１５なので、（エ）＝１０５のとき条件を満たします。
●最大公約数が３０の場合
［３０，（エ）］＝３０÷３０＋（エ）÷３０＝９ から、（エ）＝２４０で、３０と２４０の最大公約数は３０なので、（エ）＝２４０のとき条件を満たします。
以上から、整数（エ）は、２４、１０５、２４０ で、これが答えです。
簡単な問題です。
