東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(56)

2016-10-11 11:02:43 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日に続き、今日も晴れ間はお預けですが、どうやら明日はいい天気になりそうです。台風20号は日本の東に離れていき、落ち着いた1週間になるようです。

さて、今回は2014年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「正方形ABCDがあり、その対角線の交点をOとする。線分OA、OB、OC、OD上にそれぞれ点P、Q、R、Sがあり、OP=3、OQ=5、OR=4をみたしている。直線ABと直線PQの交点、直線BCと直線QRの交点、直線CDと直線RSの交点が同一直線上にあるとき、線分OSの長さを求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

図1のなかに直角がたくさんあるので、三平方の定理が使えますが、「直線ABと直線PQの交点、直線BCと直線QRの交点、直線CDと直線RSの交点が同一直線上にある」という条件を扱うのが難しくなりそうです。

そこで、図2に示した、△OAB、△OBC、△OCDにメネラウスの定理を適用して、線分BM、CN、BLを変数で表し、△LBM∽△LCNを利用して、方程式を立式するのがよさそうです。


▲図2.△OAB、△OBC、△OCDにメネラウスの定理を適用します

ここで、正方形の1辺の長さをa、OA=OB=OC=OD=b、OS=xとします。(b=√2/2・aとしてもOKですが、式が煩雑になるので、bを使いました)

まず、△OABと直線PMについてメネラウスの定理を適用すると、
AM/BM・BQ/OQ・OP/AP=1
が成り立ちます。

これに、AM=a+BM、BQ=b-5、OQ=5、OP=3、AP=b-3を代入すると、
(a+BM)/BM・(b-5)/5・3/(b-3)=1
で、これを整理すると、
BM=3a(b-5)/2b         (1)
です。

次に、△OBCと直線RLについてメネラウスの定理を適用すると、
CL/BL・OR/CR・BQ/OQ=1
が成り立ち、ここに、CL=a+BL、OR=4、CR=b-4、BQ=b-5、OQ=5を代入すると、
(a+BL)/BL・4/(b-4)・(b-5)/5=1
で、これを整理すると、
BL=4a(b-5)/b          (2)
です。

最後に、△OCDと直線CNにメネラウスの定理を適用すると、
DN/CN・OS/DS・CR/OR=1
が成り立ち、ここに、DN=a+CN、OS=x、DS=b-x、CR=b-4、OR=4を代入すると、
(a+CN)/CN・x/b-x・(b-4)/4=1
で、これを整理すると、
CN=ax(b-4)/(b(4-x))   (3)
です。

一方、図3のように、L、M、Nは同一直線上にあり、BM//CNなので、△LBM∽△LCNです。


▲図3.△LBM∽△LCNです

したがって、
LB:BM=LC:CN
LB:BM=LB+BC:CN
が成り立つので、これに(1)、(2)、(3)、BC=aを代入して、
4a(b-5)/b:3a(b-5)/2b=4a(b-5)/b+a:ax(b-4)/(b(4-x))
で、これを整理して、
4:3/2=4(b-5)/b+1:x(b-4)/b(4-x)
8:3= 5(b-4)/b:x(b-4)/b(4-x)
   =5:x/(4-x)
になり、嬉しいことにaもbも消えてしまいました。

この比例式を解いて、
8x/(4-x)=15
8x=15(4-x)
23x=60
x=60/23
です。

したがって、線分OSの長さは60/23で、これが答えです。       


メネラウスの定理に気が付けば簡単な問題です。

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