東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(78)

2016-10-08 13:45:14 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

前線を伴った低気圧が日本海を西から東に移動するため、3連休の初日はあいにくの雨になりました。最後の体育の日には、西から高気圧が張り出して晴れ間が見られるようです。

さて、今回は2004年ジュニア数学オリンピックに出題された整数問題(連立方程式の問題)を取り上げます。

問題は、
「m、nは次の条件をみたす正の整数である。
     3m-1=n
     (n-7)m=16
nを求めなさい。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

3m-1=n        (1)
(n-7)m=16     (2)
としましょう。

まず(2)をみたすn-7とmの組合せを(n-7,m)と表します。

ここで、mは正の整数なので、n-7も正の整数になるので、(n-7,m)は、
(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(16,1)
で、nとmの組合せ[n,m]は、
[8,16]、[9,8]、[11,4]、[15,2]、[23,1]
になります。

これらのn、mの組合せが(1)を満たすかを調べてお仕舞いです。

(1)からnは、3で割って2余る整数なので、上の5つの組合せのうち[8,16]、[11,4]、[23,1]が当てはまります。

これらの3つの組合せについて調べていくと、
3×16-1=47≠8
3×4-1=11=11
3×1-1=2≠23
になり、(1)を満たす組合せは、[11,4]であることが判ります。

したがって、求めるnは11で、これが答えです。

ところが、(1)(2)をよく見ると(よく見なくても)、これらはmとnの連立方程式になっているだけです。

そこで、(1)を(2)に代入して整理すると、
(3m-1-7)m=16
3m^2-8m-16=0
とmの2次方程式になります。

これを因数分解して、(解の公式を使ってもOKです)
(m-4)(3m+4)=0
から
m=4、-4/3
です。

ここで、m>0なので、m=4で、これを(1)に代入して、
n=3×4-1
 =11
で、初めの答えと同じになります。


どちらの解き方を選ぶかは好みの問題でしょうか。因みに私は連立方程式です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« 日本数学オリンピックの簡単... | トップ | 日本数学オリンピックの簡単... »
最近の画像もっと見る

コメントを投稿

数学・算数の話」カテゴリの最新記事

トラックバック

この記事のトラックバック  Ping-URL