東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(124)

2017-04-21 12:04:12 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

前線を伴った南岸低気圧が太平洋岸から少し離れたところを移動していて、時々薄日が射すものの、空一杯に雲が広がる天気になりました。この低気圧は、明日には東に去ってしまうので、明日の午後には晴れ間が戻ってきて、快適な週末になるようです。

さて、今回は2006年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「相異なる3つの正整数の組であって、どの2つの和も平方数になるようなもののうち、3数の和が最小になるものをすべて求めよ。ただし、「1と2と3」と「3と2と1」のように順番を並べ替えただけの組は同じものとみなす。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

3つの正整数を、x、y、z (0<x<y<z) とすると、
    (1)
で、
    (2)
です。

次に、(1)の辺々を足し合わせると、
    (3)
になります。

ここで、(1)と(3)から
    (4)
で、x、y、z が正整数になるのは、

かつ
A^2、B^2、C^2 がすべて偶数、または、偶数が1個と奇数が2個
の場合です。

以上の条件を整理すると、

を満たすとき、条件を満たす3つの正整数x、y、zが存在することになります。

ここから、[3]の条件で場合分けして調べていきます

●A^2、B^2、C^2 がすべて偶数の場合
まず、1から順にいくつかの平方数を書き上げると、
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、・・・
です。

一方、(3)からx+y+z が最小になるのは、A^2+B^2+C^2 が最小になる場合で、したがって、上記した平方数の数列から[1][2][3]を満たすように3個の平方数を選び、それらの和を最小にすることになります。

まず、C^2 を4または16にすると、A^2 と B^2 を選ぶことができず、C^2 を36、64、100とすると、[2]を満たすA^2 とB^2 を選ぶことができません。

そこで、 C^2 を144にすると、A^2=64、B^2=100のとき、すべての条件を満たすことができ、このとき、(3)から、x+y+z=154 になり、これが最小になります。

●A^2、B^2、C^2 で、偶数が1個と奇数が2個の場合
C^2 を1または4にすると、A^2とB^2 を選ぶことができず、C^2 を9、16、25、36とすると、[2]を満たす A^2 と B^2 を選ぶことができません。

そこで、C^2 を49にすると、A^2=25、B^2=36のとき、すべての条件を満たすことができ、このとき、(3)から、x+y+z=55 になり、これが最小になります。

以上から、A^2=25、B^2=36、C^2=49のとき、x+y+z は最小値55になり、(4)から、x=6、y=19、z=30になります。

したがって、条件を満たす3つの正整数の組は (6,19,30) で、これが答えです。


楽しい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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