東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(114)

2017-04-07 13:02:16 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昼前には、時々晴れ間も見られたのですが、午後からはすっかり曇り空です。この曇り空は、週明けしても続くようで、晴れ間が見られるのは来週の半ばになるようです。

さて、今回は2004年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、


をみたす正の整数の組(m,n)で、n/mが整数となるようなものはいくつあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

n/m=kとすると、kは正の整数になります。

ここで、n=kmを、与えられた式に代入し、右辺を10=2×5を使って書き換えると、

になり、したがって、
     (★)
と表すことができます。

ここで、kが正の整数であることから、7+3k≧10なので、 i と j は、0≦i,j≦2004を満たす整数で、(i,j)=(0,0)、(2,0)、(3,0)、(0,1)の4つの組合せを除いたものになります。

一方、kが整数の場合、(★)の左辺を3で割ると余りが1になるので、右辺を3で割った余りが1の場合、整数kが存在することになります。

つまり、0≦i,j≦2004を満たす整数 i と j で、2の i 乗と5の j 乗の積を3で割って1余るもののから、上記した除外すべき i と j の組合せを差し引いたものが整数kの個数になります。

そこで、(★)の右辺を3で割った余りを調べましょう。

5の j 乗を二項定理を使って展開すると、

で、これを3で割った余りは2の j 乗を3で割った余りと同じになります。

したがって、(★)の右辺を3で割った余りは、2の i+j 乗を3で割った余りと同じになり、そして余りが1になるのは、i+j が偶数の場合です。( i+j が奇数のとき、余りは2になります)

そこで、i+j が偶数になる組合せを調べると、それは、i と j がともに偶数、または、i と j がともに奇数の場合で、0≦i,j≦2004を満たす偶数は1003個、奇数は1002個であることから、i と j がともに偶数の組合せは1003の2乗個、ともに奇数の組合せは1002の2乗個で、合わせて、

2010013個になります。

そして、上記の除かれる組合せ(i,j)=(0,0)、(2,0)、(0,3)、(0,1)で、i と j がともに偶数または奇数のものは、2個なので、これらを差し引くと、
2010013-2= 2010011
で、これが答えです。


答えへの道すじが判りやすい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« ジュニア数学オリンピックの... | トップ | 日本数学オリンピックの簡単... »
最近の画像もっと見る

コメントを投稿


コメント利用規約に同意の上コメント投稿を行ってください。

数字4桁を入力し、投稿ボタンを押してください。

あわせて読む

トラックバック

この記事のトラックバック  Ping-URL