東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学入試問題H29(8)【灘中】

2017-01-25 14:50:27 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北風がすっかり治まり、昨日より過ごしやすくなりましたが、空気が冷たく寒い日になりました。明日も冬日で寒い日が続きますが、明後日はぐっと気温が上がるようです。

さて、今回は平成29年度灘中入試問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に辺ABの長さが6cmの直角二等辺三角形ABCの板があり、半径が6cmの円の形をした輪をはじめ下図1の位置に置きます。この輪が、下の①、②、③の順に動き、図1の位置にもどるまでの間に通過する部分の面積は(  )cm2です。ただし、板は動かず、輪の太さは考えないものとします。また、回転の向きは時計の針が回る向きです。


▲問題図


① 点Cの周りに60°回る。
② 点Bの周りに30°回る。
③ 点Aの周りに60°回る。


▲問題図


なお、下図4は、図1、図2、図3の位置にある輪を重ね合わせてかいたものです。」


▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

①の移動で輪が通過する部分は、図5の青色部分になります。


▲図5.青色部分が①の移動で輪が通過する部分です

このとき、左下にある円の中心Bと右上にある円の中心PをそれぞれCと結ぶと、∠BCP=60°です。

ここで、半円CPEXを反時計回りに60°回転移動すると、半円CBDAPに重なり、左下の円の弧CPと弦CPで囲まれた部分は、2つの半円に共通なので、半円CPEXと青色部分の共通部分の面積は、半円CBDAPから弧CPと弦CPで囲まれた部分を除いた面積に等しくなります。

つまり、図5の青色部分の面積は、半径12cm、中心角60°の扇形CDEの面積と同じです。

したがって、図5の青色部分の面積は、12×12×3.14×60/360=75.36cm2 になります。

続いて、②の移動です。この移動で輪が通過する部分は、図6の緑色部分になります。


▲図6.緑色部分が②の移動で輪が通過する部分です

このとき、左上にある円の中心Pと右下にある円の中心QをそれぞれBと結ぶと、∠PBQ=30°です。

ここで、緑色部分BCHGYの面積は、半円BQHGYから図形BQHCを除いた部分の面積です。

一方、半円BQHGYと半円BQHGJIAおよび図形BQHCと図形BPIAは合同で面積は等しので、半円BQHGYから図形BQHCを除いた部分の面積は、半円BQHGJIAから図形BPIAを除いた部分の面積と等しくなります。

さらに、図形GHJと図形FIJは合同で面積が等しいので、図6の緑色部分の面積は、半径12cm、中心角30°の扇形BFGの面積と同じです。

したがって、図6の緑色部分の面積は、12×12×3.14×30/360=37.68cm2 になります。

最後に、③の移動です。この移動で輪が通過する部分は、図7の黄色部分になります。


▲図7.黄色部分が③の移動で輪が通過する部分です

このとき、左下にある円の中心Bと右上にある円の中心QをそれぞれAと結ぶと、∠BAQ=60°です。

ここで、半円ABLZを反時計回りに60°回転移動すると、半円AQKBに重なり、右上の円の弧ABと弦ABで囲まれた部分は、2つの半円に共通なので、半円ABLZと黄色部分の共通部分の面積は、半円AQKBから弧ABと弦ABで囲まれた部分を除いた面積に等しくなります。

つまり、図7の黄色部分の面積は、半径12cm、中心角60°の扇形AKLの面積と同じです。

したがって、図7の黄色部分の面積は、12×12×3.14×60/360=75.36cm2 になります。

以上から、①、②、③の移動で輪が通過する部分の面積は、75.36+37.68+75.36=188.4cm2で、188.4が答えになります。


それぞれの移動を調べていけば難しくはないですが、結構骨の折れる問題です。

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