東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(94)

2016-12-24 12:33:59 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

時折、冷たい風が吹きますが、雲一つない青空で陽射しは強く、日向は暖かく感じます。明日も晴れですが、気温は下がり寒くなりそうです。風邪などに気をつけて過ごしましょう。

さて、今回は2007年日本数学オリンピック予選に出題された数の問題を取り上げます。

問題は、


の十の位を求めよ。ただし、

とは、11の12^13乗のことであり、11^12の13乗のことではない。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

11をn乗したときの十の位は、
11の乗  :11×11=1
11の乗  :121×11=13
11の乗  :1331×11=146
11の乗  :14641×111610
       ・
       ・ 
       ・
11の1乗 :2357947691×11=259374246
と、nの一の位の数と同じになります。

これは、(10+1)のn乗の二項展開

を100で割った余りが

になることからも判ります。

つまり、

の十の位の数を求めるためには、12の13乗の一の位の数を求めればOKです。

そこで、12のn乗を調べていきましょう。

12の1乗:1
12の2乗:12×12=14
12の3乗:144×12=172
12の4乗:1728×12=2073
12の5乗:20736×12=24883
12の6乗:248832×12=298598
       ・   
       ・   
       ・
になり、12のn乗の一の位の数は、2、4、8、6、2、4、8、6、・・・と「2、4、8、6」を繰り返します。

これも(10+2)のn乗の二項展開を調べてみると、

から、これの一の位の数が

になることから判ります。

以上から、12の13乗の一の位の数は2になり(13÷4=3・・・1)、したがって、

の十の位の数はで、これが答えです。


簡単な問題です。

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