東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(58)

2016-10-13 12:31:58 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

シベリア高気圧の冷たい大気が流れ込み、今日の東久留米の気温は17℃までしか上がらないようで、晩秋のような肌寒い日になりました。明日以降は20℃を超えて、過ごしやすい日がしばらく続くようです。

さて、今回は2001年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「一辺の長さaの正三角形ABCがある。D、E、Fはそれぞれ辺BC、CA、AB上の点であり、三角形DEFは一辺の長さbの正三角形である(ただしb<a)。このとき、三角形AFEの内接円の半径の長さを求めよ。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

内接円の半径は、面積を利用すると簡単に計算できます。

そこで、面積に注目すると、正三角形ABC、DEFはどちらも一辺の長さが与えられているので、簡単にそれらの面積を計算できます。

さらに、△CED、△AFE、△BDFは合同な三角形なので、それらの面積は等しくなります。

したがって、△AFEの面積は、((正三角形ABCの面積)-(正三角形DEFの面積))×1/3で求めることができそうです。

それでは、初めに、一辺の長さが与えられた正三角形の面積を計算しましょう。

図2のように、一辺の長さがxの正三角形XYZを調べます。


▲図2.一辺の長さが与えられた正三角形の面積を計算します

頂点Xから辺YZに下ろした垂線の足をHとすると、△XYHは、∠XHY=90°、∠XYH=60°、∠YXH=30°の直角三角形で、その3辺の日は、XY:YH:XH=2:1:√3です。

これからXH=XY・√3/2=√3x/2で、したがって、△XYZの面積はYZ・XH・1/2=√3/4・x^2になります。

このことから、
(△ABCの面積)=√3/4・a^2
(△DEFの面積)=√3/4・b^2
です。

続いて、△CED、△AFE、△BDFが合同であることを示します。

図3のように、∠AEF=とします。


▲図3.△CED、△AFE、△BDFが合同であることを示します

△AFEで、三角形の内角の和は180°なので、
∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF
     =180°ー60°-
     =120°-
です。

一方、直線AECで、
∠CED=∠CEA-∠DEF-∠AEF
     =180°-60°-
     =120°-
です。

つまり、
∠AFE=∠CED
が成り立ちます。

また、
∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE
     =180°-60°-∠AFE
     =120°-∠AFE
     =120°-∠CED
     =180°-∠DCE-∠CED
     =∠CDE
です。

以上から、△AFEと△CEDにおいて、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△AFE≡△CEDです。

△BDFについても同様で、△CED、△AFE、△BDFは互いに合同な三角形で、それらの面積は等しくなります。

以上から、
(△AFEの面積)=((△ABC面積)-(△DEFの面積))・1/3
           =√3/4・(a^2-b^2)・1/3
           =√3/12・(a^2-b^2)      (1)
です。

続いて、△AFEの面積をその内接円の半径を使って表します。

図4のように、△ABCの内接円の中心をO、辺EF、AE、FAとの接点をそれぞれP、Q、Rとすると、
(△AFEの面積)=(△OEFの面積)+(△OAEの面積)+(△OFAの面積)
           =1/2・EF・OP+1/2・AE・OQ+1/2・FA・OR
           =1/2・r・(EF+AE+FA)
になります。

ここで、△AFE≡△CEDから、AE+FA=AE+CE=AC=aで、また、EF=bなので、
(△AFEの面積)=1/2・r(a+b)          (2)
です。


▲図4.△AFEの面積をその内接円の半径を使って表します

最後に、(1)と(2)が等しいことから、
√3/12・(a^2-b^2)=1/2・r(a+b)
が成り立ち、これを整理して、
r=√3/6・(a-b)
です。

したがって、△AFEの内接円の半径は√3/6・(a-b)で、これが答えです。


面積に着目すれば簡単な問題です。

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