東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(98)

2016-12-28 11:18:20 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜の強い風も治まり、寒さは厳しいものの、いい天気になりました。明日も晴れて、さらに嬉しいことに、気温が上がって暖かい日になるようです。

さて、今回は2005年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「7つの席に区切られた長椅子に、7人の人が1人ずつ来て座る。ただし、他人と隣りあわない席が残っているうちは、どの人も他人の隣には座らない。席が埋まってゆく順は何通りあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

長椅子に座っている人が互いに隣あわないように着席している最後の状態(つまり、次に座る人は他人の隣に座ることになります)は、下図のAからGになります。


▲図.互いに隣あわないように着席している最後の状態です

この図のAからGのそれぞれについて、席が埋まってゆく順を勘定していきましょう。

●Aの場合
人が座っている4つの席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
で、3つの空席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
なので、Aの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
24×6=144通り
です。

●Bの場合
人が座っている3つの席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
で、4つの空席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
なので、Bの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
6×24=144通り
です。

●Cの場合
人が座っている3つの席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
で、4つの空席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
なので、Cの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
6×24=144通り
です。

●Dの場合
人が座っている3つの席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
で、4つの空席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
なので、Dの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
6×24=144通り
です。

●Eの場合
人が座っている3つの席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
で、4つの空席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
なので、Eの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
6×24=144通り
です。

●Fの場合
人が座っている3つの席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
で、4つの空席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
なので、Fの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
6×24=144通り
です。

●Gの場合
人が座っている3つの席が埋まってゆく順は、
3×2×1=6通り
で、4つの空席が埋まってゆく順は、
4×3×2×1=24通り
なので、Gの状態を経て、7つの席が埋まってゆく順は、
6×24=144通り
です。

以上から、互いに隣あわないように席が埋まっていくすべての順は、
144×7=1008通り
で、これが答えです。


以前に、東大大学院入試で出題された同じ問題を取り上げています。興味のある人は覗いてみてください。中学生でも解ける東大大学院入試問題(197)

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