日本数学オリンピックの簡単な問題（４２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜からしっかりとした雨が降っています。東久留米の気温は２０℃で、涼しいを通り越して少し寒いほどです。明日は暖かくなるようですが、風邪など引かぬよう気をつけましょう。

さて、今回は２００５年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＯＡ＝２、ＯＰ＝ａ、∠ＡＯＰ＝９０°なる直角三角形ＡＯＰの辺ＯＡの中点を点Ｂとする。このとき∠ＡＰＢを最大にするようなａの値を求めよ。」
です。

以前に取り上げた京大入試問題に同じようなものがあります。（中学生でも手が届く京大入試問題（１２））

初めに、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

次に、図２のように、ＡとＢを通り、直線ＯＰに接する円Ｃを描きます。

▲図２．ＡとＢを通り、直線ＯＰに接する円Ｃを描きました

ここで、円Ｃと直線ＯＰとの接点をＰ’とすると、Ｐ’を除く直線ＯＰ上のすべての点Ｐは、円Ｃの外部にあるので、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＰＢになり、ＰがＰ’に一致するとき、∠ＡＰＢは最大になります。

そこで、図３のように、Ｐを接点とした図に描き直しましょう。

▲図３．Ｐを接点にしました

図３で、Ｃから辺ＯＡに垂線を下ろし、その足をＤとします。

このとき、△ＣＡＢは二等辺三角形なので、Ｄは線分ＡＢの中点で、ＡＤ＝ＢＤ＝１/２、さらに、ＯＤ＝１＋１/２＝３/２です。

一方、ＤＯ＝ＣＰで、ＣＰは円Ｃの半径なので、ＣＰ＝ＣＡが成り立ち、したがって、ＣＡ＝３/２になります。

そこで、直角三角形ＣＡＤに三平方の定理を適用して、
ＣＡ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2
（３/２）^2＝（１/２）^2＋ＣＤ^2
ＣＤ^2＝９/４－１/４
　　　 ＝２
から
ＣＤ＝√２
です。

ここで、ＣＤ＝ＯＰ＝ａですから、∠ＡＰＢが最大になるのは
ａ＝√２
のときで、これが答えです。


続いて、高校で勉強する三角関数を使って解いてみましょう。

図５のように、∠ＡＰＢ＝θとします。

▲図５．三角関数を利用します

図５で、辺ＡＰと線分ＢＰの長さは、三平方の定理から、それぞれ、√（ａ^2＋４）および√（ａ^2＋１）です。

ここで、△ＰＡＢに余弦定理を適用すると、

が成り立ちます。

このとき、０°＜θ＜９０°　（θ＝９０°になるのは、Ｐが線分ＡＢを直径とする円の周上にあるときで、この円は図５の直線ＯＰと交わりません）なので、θが最大になるのは、ｃｏｓθが最小になるときです。

つまり、上式の根号のなかにある、ａ^2＋５＋４/ａ^2　が最小のとき、ｃｏｓθが最小になり、θが最大になります。

そこで、相加相乗平均の不等式から

が成立し、ここで等号は、
ａ^2＝２
のとき成り立ちます。

したがって、ａ＝√２のとき、θは最大になります。


前半の解き方のＡ、Ｂを通り、直線ＯＰに接する円を描くテクニックを頭に入れておくと役に立つことがあるかも知れません。