東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(123)

2017-04-20 12:29:22 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日、一昨日と比べて気温が下がり、20℃ちょっとの快適な暖かさになりました。空には雲が広がり、明日、明後日とぱっとしない空模様になりますが、日曜日は晴れになるようです。

さて、今回は2015年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「正の整数に対して、次の操作を行うことを考える:

 1の位の数字を取り去り、それを4倍したものを加える。

たとえば、1234に操作を行うと123+16=139となり、7に操作を行うと28となる。

から始めて操作を10000回行った後に得られる数はいくつか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ここは漸化式を利用して、操作を式で表しましょう。


にn回の操作を行った後の数をAn、その一の位の数をBnとすると、
     (1)
です。

さらに(1)を
  (2)
と変形します。

ここで、(2)の両辺を39で割ったときの余りを調べると、
An+1を39で割ったときの余りと、4Anを39で割ったときの余りが等しくなることが判ります。

つまり、

なので、A10000を39で割ったときの余りは、

を39で割ったときの余りと等しくなります。

そこで、

を39で割った余りを計算しましょう。


なので、

を39で割った余りは、22・25=550を39で割った余りと等しくなり、550÷39=14・・・4から、4になります。

あとは、A10000≦39であれば、A10000=4に決まります。

(1)から

で、これらの辺々を足し合わせると、

になり、A10000≦39です。

以上から、

から始めて操作を10000回行った後に得られる数は で、これが答えです。


筋道は判りやすい問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
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