面積問題（６）［桜蔭中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年桜蔭中入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　］をうめなさい。
　縦４０ｃｍ、横３０ｃｍ の紙に図のように幅１ｃｍ の青いテープを２ｃｍ おきにはりました。
　この紙１枚に１辺が１０ｃｍ の立方体の展開図を書きそれを切り取って青いテープがはってある面を表にして組み立てました。
　出来上がった立方体の表面のうち、青いテープの部分の面積は最も少なくて［ ウ ］ｃｍ2、最も多くて［ エ ］ｃｍ2 です。」

▲問題図

図１に示すように、立方体の展開図は１１通りあります。（展開図は立方体の辺を切り開いて作るものとしました）

▲図１．立方体の展開図は１１通りです

これらのなかの１から１０の展開図は、縦方向に４個の正方形が並び、１１の展開図は縦方向に５個の正方形が並びます。

したがって、縦４０ｃｍ、横３０ｃｍ の紙に収まる展開図は１から１１で、紙の上端から下端まで余すことなく４個の正方形が並ぶことになり、さらに、それらの４個の正方形が真直ぐに一列に並んでいても、ずれて並んでいても、４個の正方形の青いテープの部分の面積は同じです。

次に図２のように、紙を縦方向に４等分した領域Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで、一辺１０ｃｍ の正方形の青いテープの部分の面積を計算すると、それぞれ、４０ｃｍ2、３０ｃｍ2、３０ｃｍ2、４０ｃｍ2 になり、縦方向に並んだ４個の正方形の青いテープの部分の面積は、４０＋３０＋３０＋４０＝１４０ｃｍ2 です。

▲図２．縦方向に４等分した領域Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで、一辺１０ｃｍ の正方形の青いテープの部分の面積を計算しました

つまり、立方体の表面のうち、青いテープの部分の面積が最も少なくなるのは、２個の正方形が領域ＢとＣにあるとき（展開図５、６、８、９、１０）で、その面積は、１４０＋３０＋３０＝２００ｃｍ2 です。

一方、最も多くなるのは、２個の正方形が領域ＡとＤにあるとき（展開図１、４）で、その面積は、１４０＋４０＋４０＝２２０ｃｍ2 です。

したがって、［ ウ ］は ２００、［ エ ］は ２２０ で、これが答えです。

ちなみに、立方体の面を切り開いて展開図を作ることを可とすると、例えば図３のように、青いテープの部分の面積を１９４ｃｍ2 にすることができます。多分、これが最小値になると思うのですが、任意の切り開き方で展開図を作った場合について調べてはいません。

▲図３．立方体の面を切り開いて展開図を作ったときの例