命題と論理（数Ａ）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中学校の期末試験が終わるとすぐに高校の期末試験があって、数Ａでは命題と論理の単元がその試験範囲になります。

ここで命題の一例を挙げると、
「ａｂ≦０ならば、ａ≦０またはｂ≦０」
という命題は真で、ａ≦０またはｂ≦０は、ａｂ≦０の必要条件、ａｂ≦０は、ａ≦０またはｂ≦０の十分条件になります。

さらに、この命題の逆、裏、対偶は、
・逆：　　ａ≦０またはｂ≦０ならば、ａｂ≦０　 （偽）
・裏：　　ａｂ＞０ならば、ａ＞０かつｂ＞０　　（偽）
・対偶：　ａ＞０かつｂ＞０ならば、ａｂ＞０　　（真）
になります。

また「現代の古典解析　微積分基礎課程」（森毅著）の第１講に、「不等号と論理」があって、そのなかに、
「次の命題の逆命題をつくり、ホントかウソかを判定せよ：
　　ａ≦ｂかつｂ≦ｃならば、ａ≦ｃ」
という例題を扱っています。

この命題の前後を入れ替えて逆命題をつくると、
ａ≦ｃならば、ａ≦ｂかつｂ≦ｃ
となり、ａとｃの間にｂをとればこの逆命題は真になりそうな気もしますが、実は、元の命題からアイマイで、このアイマイさを除くには、元の命題を
「任意の実数ａ，ｂ，ｃについて、ａ≦ｂかつｂ≦ｃならば、ａ≦ｃ」
としなければなりません。

そこで改めて命題の逆をつくると、
「任意の実数ａ，ｂ，ｃについて、ａ≦ｃならば、ａ≦ｂかつｂ≦ｃ」
になり、ｂは任意のｂなので、この命題はウソ（偽）であることが判ります。

他にもためになる話があるので、興味のある人は目を通すとよいでしょう。